误差理论与测量平差基础4-6章.pptx

第四章 平差数学模型与最小二乘原理 一、几何模型： 1、确定几何模型的必要元素（必要观测量） （1）几何模型的形状 （2）形状、大小 2个 3个 （3）形状、大小、位置 6个 2、必要元素的选取与性质 （1）能唯一确定该模型 （2）最少需要 （3）元素间不存在任何确定的函数关系 第四章 平差数学模型与最小二乘原理 二、平差的数学模型 为了研究并描述这样或那样的客观实际，人们总是通 过抽象和概括，从理论上来定义和客观实际本质相适应 的模型。 1、函数模型 函数模型是描述观测量与待求量间的数学关系。 2、随机模型 随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过 观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来 表示，借以说明观测值是否受系统误差的影 响、观测值的精度季它们是否相关等。 Δ D Δ = min 第四章 平差数学模型与最小二乘原理 三、参数估计与最小二乘原理 • ⎨ ⎬ 最小二乘与极大似然估计 联合概率分布密度函数 G = 常数× exp ⎧− 1 (ΔT D −1Δ)⎫ ⎩ 2 ⎭ 所谓极大似然估计，就是要在其联合概率密度达到极 大的条件下来对真误差进行估计。 T −1 xn ] 的n个元 = ⎢ ∂xn ⎦ 条件平差 第五章 预备知识： 矩阵的微分 素xi为自变量的可微函数f(X)=f(x1 x2…xn),且函数f(X)对 其所有的自变量xi是可微的，则f(X)对于向量X的微分为 T 1．纯量函数关于向量的导数 如果函数f是以n维向量 X = [x1 x2 ∂f ⎤ ⎥ … ⎡ ∂f ⎣ ∂x1 ∂f ∂x2 df dx 1,n 第五章 预备知识： 2．向量函数关于向量的导数 当有m个这样的函数 x2 … xn ) x2 … xn ) x2 … xn ) f1 ( X ) = f1 ( x1 f 2 ( X ) = f 2 ( x1 f m ( X ) = f m (x1 构成函数向量 f n ( x)) f 2 ( x) … F = ( f1 ( x) 则函数向量F关于n维向量X的微分为一个矩阵。 = + F = X A X , d ( X AX ) = 2 X A 第五章 预备知识 3．函数向量关于向量的求导规则 （1） dC dX = 0 m , n dG dX dZ dX dF dX dF dX = A m ,n （2） Z = F + G, m,1 m,1 m,1 （3） F = A X , m ,1 m ,n n ,1 （4） T T T dX 1,n n,n 1,1 1,n n,n n,1 第五章 条件平差 (Conditional Adjustment) 基本概念 1、必要观测 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数 2、多余观测 (redundant observation) 实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测。 3、条件平差及其目的 ⎛ v1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 − 1 0 ⎞⎜ ⎟ ⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎟ + ⎜ − 3 ⎟ = 0 ⎜ 0 1 0 0 1 − 1⎟⎜ ⎜ 0 0 − 1 − 1 0 1 ⎟⎜ v4 ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎠⎜ v ⎟ ⎝ ⎜ v ⎟ 第五章 条件平差 例，水准网如右图，D为已知点，观 测值及其权阵如下： T (1 1 1 2 . 5 2 . 5 2 . 5 ) P = diag 求观测值的平差值。 ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ v3 ⎜ ⎟ ⎜ v2 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ 6 ⎠ 第五章 条件平差 (Conditional Adjustment) 一、条件平差原理 1、条件方程 (condition equation) ALˆ + A0 = 0 2、函数模型(functional model) W = AL + A0 A V + W = 0 , r ,n n ,1 r ,1 r ,1 3、随机模型 (stochastic model) D = σ 02 Q n ,n 4、估计准则： T = 2V P − 2K A = 0 第五章 条件平差 条件极值法要点： 当具有约束条件时，求函数的优化解，则应在下述函数达到 优化时寻求其解。