第二章 导数微分及其应用.ppt

2、定义 (区间导数) 导函数的定义式为 解： 3、 基本求导公式和求导法则 ①基本求导公式 ②导数的四则运算 解： 解： 解： ③复合函数的求导法则――链锁法则 所以 解 注意到 分母的极限不为零。 解 4、两个重要极限 解 因此 解 解 先用x去除分母及分子，然后取极限. 解 5、无穷小量和无穷大量 ①、无穷小量 例如 一个函数 f (x)当x→ x 0时以0为极限，称该函数 f (x)为当x→ x 0时的无穷小量。 ②.定理 ③无穷小量阶 ～ 下面是几个常用的等价无穷小： ～ ～ ～ ～ ④、无穷大量 第三节 连 续 1、连续的定义 区间连续的定义 连续函数的图象是一条连续的曲线。 2、初等函数的连续性 定理 基本初等函数在定义域内都连续。 定理 初等函数在定义域上的区间上连续。 解 3、 闭区间上连续函数的性质 ①、定义 如果存在M0，使得任意x∈D,有| f(x)|M,则称 函数f(x)在定义域D上有界. ②、定理（有界性定理）若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续， 则它在[a, b]上有界。 如果f(ξ)=0，我们就称ξ是函数f(x)的零点。 定理的几何解释是：一条连续的曲线段一端在x轴下方,另一端在x轴上方,那么该曲线一定和x轴相交。 证明 如果记f(x)在闭区间[a, b]上的最的大值为M，最小值 为m, 且m≤c≤M，那么存在一点ξ∈[a, b]使得 f(ξ)=c。 第四节 函数的导数 一、导数的概念 两个例子 (1)、切线问题 设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？ (2)、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离 开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0) ？ 1、定义 存在，则称这个极限为函数 f(x)在点x0处的导数， 并称函数f(x)在x0处可导或有导数。 (点导数) 如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导 。 解： * 第二章 导数微分及其应用 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理 论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学 的发展。 ???? 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发 展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷 竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多 边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 ???? 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊 数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线 弓形的面积，没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。 微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。 解析几何为微积分的创立奠定了基础 。 第一节 函 数 区间 一、预备知识 设a，b是两个实数，且ab ①开区间 ： 满足不等式 axb一切实数的全 体。 ②闭区间 ： 满足不等式 a≤x≤b的一切实数的 全体。 ③半开区间 ：满足不等式 ax≤b的一切实数的 全体。 ：a ≤ x b 表示全体实数，或写成－∞ x ＋∞； 表示大于a的全体实数，或写成a x +∞； 表示小于a的全体实数，或写成－∞ x a； 表示 a≤ x +∞； 表示－∞ x ≤a。 2.邻域 例：2的0.001邻域为 　　　　　　（1.999 , 2.001） 2的0.001去心邻域为 (1.999 , 2)∪(2 , 2.001) 二、函数 函数的概念 注 函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。 2.复合函数 设y是的z函数： y=f(z)， 而z又是x的函数：z=g(x)。 设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D 上取值时所 对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数 y=f(z)得 y=f(g(x)) D g(D) F(g(D)) 这个函数叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复合函数， 记作 f·g 。变量z叫做中间变量。 函数f的定义域