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第二章 导数和微分 一、导数的概念 1．定义 或 ． 2．左导数和右导数 （1）左导数： ． （2）右导数： ． （3）． 3．导数的几何意义 ． 曲线在点的切线和法线方程分别为 = 1 \* GB3 ①切线方程：． = 2 \* GB3 ②法线方程：． 4．可导与连续的关系 可导一定连续，连续不一定可导． 例1　已知在点处可导，利用导数定义确定下列各式中的系数： （1）； （2）； （3） ． 解 （1）因为 ， 所以． （2）因为 ， 所以． （3）因为，且 ， 所以． 例2　设函数存在，且，求 ，． 解 由导数的定义知 ， ． 例3　讨论函数在处的可导性． 解 因为 ， ， 所以函数在处不可导． 例4　设在处连续，且，求． 解 因为在处连续，则 ， 于是 ． 例5　设且在处连续，求． 解 因为在处连续，则，于是 ． 注 由于在处连续，未必可导，这里只能用导数的定义求，而不能用求导法则． 例6　设，求，并讨论的连续性与可导性． 解 ， 显然，在处连续并且可导． 在点处，由 ，，， 可知，当，即时，连续，从而，就在上连续． 若在处可导，自然也就连续，由 ， ， 可知，当时，在处可导，此时． 故当，时，在上连续并且可导． 例7 设在上有定义，，对任意的，恒有，求． 解 因为，令，有 ， 即．又 ， 上式两端同除以，得 ， 当时，对上式取极限，得 ， 两端积分，得 ． 由可知，． 故 ． 二、隐函数和参数方程所确定的函数的导数 1．隐函数所确定的函数的导数 求隐函数的导数时，采用的一般方法是： （1）遇到的函数就直接对求导； （2）遇到变量就直接写为； （3）遇到变量的函数，就先对变量的函数求导，再乘以． 2．参数方程所确定的函数的导数 设，则 ． 3．对数求导法 当函数由连乘、连除或乘方、开方、幂指函数表示时，通常是两边取自然对数后再求导，这种方法称为对数求导法． 例8 设，求． 解 两边同时对求导，得 ， 解得 ． 例9　设，求． 解 ． 例10　设，求． 解 两边同时取自然对数，得 ， 两边同时对求导，得 ， 所以 ． 例11　设，其中为可导函数，求． 解 两边同时取自然对数，得 ， 两边同时对求导，得 ， 所以 ． 注 上式可作为幂指函数的求导公式． 三、高阶导数 1．显函数的高阶导数 求显函数的高阶导数，只要对函数连续求导即可．在求函数的阶导数时，不要随意地把求导结果化简，应尽量保持结果的原始状态，这样利于递推出函数的阶导数公式． 2．隐函数所确定的函数的二阶导数 求隐函数所确定的函数的二阶导数，首先是隐函数的两边对求导数，然后把得到的关于，，（是的函数）的方程再对求导数，此时，所得方程含有、，从中解出，并把第一次求导时得到的代入，便得隐函数所确定的函数的二阶导数． 3．参数方程所确定的函数的二阶导数 由参数方程所确定的函数的二阶导数公式为 ． 但在应用上式时，计算过程很烦琐，建议读者不用．通常的方法是由 对求导得出。即 ． 例12 设函数二阶可导，求下列函数的二阶导数： （1）； （2）． 解 （1）令，则 ， ． （2）令，则 ， ． 例13　求函数的阶导数． 解 因为 依此类推 ． 例14　求由所确定的函数的二阶导数． 解 两边同时对求导，得 ， 整理，得 ， 即 ． 前式两边再对求导，得 ， 把代入上式并整理，得 ． 例15　设，求． 解 因为 ， 所以 ． 例16　设，求，． 解 因为 ， 所以 ， ． 四、微分及其应用 1．导数与微分的关系 ． 由上式不难看出，求函数的微分实质上等同于求函数的导数．这里的重点是微分公式在凑微分中的应用，也就是应正确理解微分形式不变性． 2．微分的应用 根据微分的定义，当较小时，可得函数增量的近似表达式 ． （1） 由于，代入（1）得到近似公式 ． （2） 两个近似公式可以相互推出，但它们在近似计算中的用法不同：（1）式用于计算函数在点处增量的近似值，（2）式用于计算函数在点附近的点处函数值的近似值． 在公式（2）中，若令，并取，则 ． （3） 上式用于计算函数在原点附近的点处函数值的近似值．由它可以推出近似计算中常用的近似公式： 当较小时，有 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 例17 求的近似值． 解 设，则．取，． 由于 ，， 所以 ． 例18 下列函数值的近似值： （1）；（2）． 解 （1）． （2）． 习 题 二 1．已知为奇函数，，求． 2．设，其中有二阶连续导数，且， （1）确定的值，使在处连续； （2）求． 3