第二章__导数与微分[一].doc

PAGE PAGE 1 第二章 导数与微分 2.1导数的求法 一 基本概念 一点的导数、左导数、右导数（单侧导数）、导函数（导数）、可微 对导数的理解：导数就是函数在该点的变化率，导数的绝对值越大，函数值变化的越快，导数的绝对值越小，变化越慢，当导数为零时，曲线在该点的切线平行于轴． 函数在点处的导数的几何意义是曲线上的点的切线的斜率，即，是切线与轴正向所成的夹角． 1. 导数：在点处的导数，记作或，表示为 ； 2. 左导数：在点处的左导数，记作，表示为 ； 3. 右导数：在点处的右导数，记作，表示为 ． 4. 可微：在的邻域有定义，若 ， 其中是不依赖于的常数，则称在点可微． 二 基本结论 1. 可导、可微和连续的关系： （i）可导和可微是等价的，即可导则可微，反之亦然； （ii）可导（可微）一定连续. 2. 可导的充要条件：左右导数都存在且相等，即 存在． 3. 求导法则：函数和可导，则 （1）； （2）； （3）． （4） 4. 求导公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）. 三 基本方法 1. 一点导数的求法： （1）公式法：用公式求出导函数，再求这点的导函数值（初等函数，具体函数）； （2）定义法：用定义求这点的导数（分段函数的分段点，抽象函数）． 例1 设存在，求下列各极限： （1）； （2）； （3）； （4）． 2. 导函数的求法： （1）初等函数的导数（由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数） 在对初等函数求导时，需要确定是四则运算还是复合运算． 例2 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． （2）由参数方程确定函数的导数 参数方程确定的函数的导数： 一阶导数：； 二阶导数： ． 例3 已知，求；． 解 由于，，于是 ， 例4 已知，求；． 解 由于，，于是 ． 对再次求导，得到 ． （3）隐函数的导数 由方程所确定的隐函数（）的导数的求法： 1. 将方程两边对变量求导，把看作是的函数，最后从方程中解出； 2. 转化为，我们有 例5 已知，求 解（方法1）对方程两边求导 ， 解得 ． （方法2）令，则 ，， 所以 ． 注：若求隐函数的二阶导数，只需在一阶导函数的基础上，再对自变量求导，把看作的函数，最后用代替，从而求得． （4）幂指函数的导数 作恒等变换， 例6. 设，求． 解 ． （5）多因子相乘除的导数： 例7 设，求． 解 取对数 ，于是 所以 ． （6）变限积分函数的导数 定理 若连续，和可导，则变限积分函数可导，且有 ． 其求导方法见第一章变限积分函数的导数．注：重点． （7）分段函数的导数 基本方法：在开区间上用公式求导，在分段点上用定义求导 例8 设，讨论函数的连续性，并求其导函数． 解 当时，，初等函数，有定义，连续． 当时，，初等函数，有定义，连续． 当时，，所以函数再点连续． 综上所述，函数在上连续． 当时， ； 当时，，初等函数，有定义，连续． 而且 ； ， 所以有 ． 注：在例7中，函数在点的右导数，实质就是的导数在的函数值，也就是说不必用定义求，只需将代入 ，（）； 就得到．而函数在点的左导数就不能直接代入，这是由于右侧导函数 ，（）， 在点没有定义，所以只能用定义． 例9 ，求． 解 当时， ； 当时， ， 所以 ． 2.1 练习 1. 求下列初等函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 2. 求由下列方程确定函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 3. 求由参数方程确定函数的二阶导数： （1）； （2）．