第三章函数零点与二分法求方程近似解.doc

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。所以

方程有实数根

函数的图象与轴有交点

函数有零点．

3、函数零点的求法：

(1)〔代数法〕求方程的实数根；

(2)〔几何法〕对于不能用公式求根的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根。

4、根本初等函数的零点情况

二、零点的存在性定理

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也是方程的根。

注:(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值为零.

(2)不是所有的函数都有零点，如

(3)如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且是函数在这个区间上的一个零点,却不一定有.如

(4)在区间存在唯一一个的零点条件是:

①在区间上连续，且②在区间上单调。

三、用二分法求方程的近似解

1、二分法定义：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2、给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤：

〔1〕确定区间，，验证，给定精度；

〔2〕求区间，的中点；

〔3〕计算：

①假设，那么就是函数的零点；

②假设，那么令〔此时零点〕；

③假设，那么令〔此时零点〕；

〔4〕判断是否到达精度；即假设，那么得到零点值〔或〕；否那么重复

步骤〔2〕~〔4〕．

注：(1)二分法的条件·说明用二分法求函数的近似零点都是指变号

零点。

(2)用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．

【典型例题】

题型一、求函数零点

例1．函数的零点为〔〕

A、B、C、D、不存在

【变式训练】函数的零点是〔〕

A、(1,0)B、(2,0)C、(1,0),(2,0)D、1,2

题型二、判断函数零点个数

例2．函数的零点个数为。

【变式训练】

1．函数的零点个数为

2．方程根的个数为〔〕

A．无穷多B．C．D．

3.直线与函数的图象的零点个数为〔〕

A．个B．个C．个D．个

4．方程的实数解的个数为．

题型三、判断函数零点所在区间

1.的零点所在的区间是〔〕

A〔-2,-1〕B〔-1,0〕C〔0,1〕D〔1,2〕

2.函数的零点一定位于区间〔〕

A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)

3．假设是方程的解，那么属于区间〔〕

A．B．C．D．

4.以下四个函数的图象中，在区间(0，＋∞)上有零点的是().

①②③④

A．①②B．①③④C．②④D．①④

题型四、二分法求近似解

例3.说明函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)内必有零点，并用二分法求出一个零点的近似值(误差不超过0.01)．

由于f(x)＝x3－3x＋1在区间［1，2］上的图象是连续不间断的，且f(1)·f(2)＝－3＜0，所以函数f(x)在区间(1，2)内必有零点．

取区间［1，2］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

端点(中点)坐标

计算中点的函数值

取区间

｜an－bn｜

x0＝1.5

f(x0)＝－0.125＜0

［1，2］

1

x1＝1.75

f(x1)＝0.109375＞0

［1.5，2］

0.5

x2＝1.625

f(x2)＝0.416015＞0

［1.5，1.75］

0.25

x3＝1.5625

f(x3)＝0.127197265＞0

［1.5，1.625］

0.125

x4＝1.53125

f(x4)＝0.00338745117＜0

［1.5，1.5625］

0.0625

x5＝1.546875

f(x5)＝0.060771942＞0

［1.53125，1.5625］

0.03125

x6＝1.5390625

［1.53125，1.546875］

0.015625

由上表可知x6＝1.5390625可作为所求函数的误差不超过0.01的一个零点的近似值

【变式训练】

1.用二分法求方程内近似解的过程中得，，那么方程的根落在区间〔〕

A．B．C．D．不能确定

2．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个