自考线性代数第二章向量空间.doc

第二章　向量空间 打印本页 　　内容提要：n维向量的概念：向量的线性运算：向量空间及其子空间的概念。向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩的概念，向量空间的基，维数和向量的坐标。　　一、向量空间及其子空间　　1.n维向量及其线性运算　　例：坐标原点0（0，0）为起点，以M（x,y）为终点的向量OM，称为点M的位置向量或点M的向径，可用有序数组（X，Y）来表示，而M1（x1，y1）为起点，M2（x2，y2）为终点的向量m1m2可用二元有序数组（x2－x1，y2－y1）表示，类似地，空间中的向量可以用3元有序数组（a1，a2，a3）来表示。　　　　定义：　　称由n个数a1，a2……an组成的有序数组（a1，a2……an）　　为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量。（i=1,2……，n）　　行向量：（a1，a2……an）　　列向量：　　　　　　　　α,β，x，y……等来表示向量，用ai, xi, yi ……等来表示向量的分量　　向量的相等：如果两个n维向量　　α=（ a1，a2……an），β=（ b1，b2……bn）　　的对应分量相等，即ai=bi（I=1,2……n）　　则称向量α与β相等，记为α=β　　零向量：分量全是零的n维向量称为n维零向量，记为0　　负向量：对于向量α=（a1，a2……an）称　　-α=（-a1,-a2.……-an）为α的负向量。　　向量的线 性运算：加法运算　　=（a1,a2,---,an）　　=（b1，b2，---bn）　　与 的和为：+=（a1+b1，a2+b2，……，an+bn）　　数乘运算：k（或k）=（ka1，ka2，……，kan）　　减法运算：-=+（-）=（a1-b1，a2-b2，……an-bn）　　向量的线性运算法则：　　（1）+=+　　（2）（+）+=+（+）　　（3）+0=　　（4）+（-）=0　　（5）1=　　（6）k（l）=（kl）　　（7）k（+）=k+k　　（8）（k+l）=k+l　　向量的转置和乘法矩阵一致　　例：设向量 =（4，7，-3，2）　　=（11，-12，8，58）　　求满足5-2=2（-5）的向量　　解：∵5-2=2（-5）　　∴15=2+2　　∴=（+）=（15，-5，5，60）　　=（2，，8）　　由向量的定义，一个mxn的矩阵　　　　可以看成是用m个n维行向量：ai=（ai1，ai2，……，ain）（i=1，2，……m）组成的，或看成是由n个m维列向量　　=（j=1，2，…，n）　　组成的。通常称，，……，为矩阵A的行向量组，称为矩阵A的列向量组。　　2.向量空间及其子空间　　例：考虑线形方程组　　　　　　则方程组有解x1=0，x2=0　　　　则方程组有解x1=1，x2=0，但如果则方程组无解　　由增广矩阵的初等行变换：　　　　得同解方程组为：　　　　这是一个矛盾方程组，故方程组无解，所以，并不是对任意的3维向量b，方程组都有解，使得方程组有解的向量b，只是3维向量全体所成集合的一个子集合，利用向量的线性运算将方程组改写成：　　　　所谓方程组有解，即存在的一组数值，使得上式成立，由此可见，使得方程组有解的向量b是形如：　　的向量全体，其中为任意常数。　　上式中的向量是由两个3维向量　　　　　　经线性运算得到的，从几何上看，这些向量的全体形成几何空间中过原点的一个平面，平面上任意两个向量的和还在这个平面内，平面上任意一个向量的数量乘积也还在这个平面内。　　定义：设V是由一些n维向量组成的向量集合，如果V关于向量的线性运算满足：　　（1）对于V中任意两个向量，和向量也是V中的向量（V关于向量的加法运算封闭）　　（2）对于V中任意向量及任意常数k，数量乘积 也是V中的向量（V关于数乘运算封闭）　　则称V是一个向量空间。由定义知，形如：　　的向量全体构成一个向量空间。　　事实上，因为这个集合中的任意向量都可以写成 的形式（其中是两个固定向量，为任意常数），按照集合的写法，可把它写成：　　　　任意取W中的两个向量　　　　由W的定义，即知所以W为一个向量空间，通常称W为由生成的向量空间。　　一般地，如果 是r个给定的n维向量，利用上述方法可以证明向量集合　　　　是一个向量空间，并称是由生成的向量空间。　　把分量全是实数的向量称为实向量，并把n维实向量全体组成的集合记为Rm，把分量全是复数的向量称为复向量，并把n维复向量全体组成的集合记为Cn，显然，两个n维实向量的和还是n维实向量，实数与n维实向量的乘积还是n维实向量，所以由定义知Rm是一个向量空间，同理可知Cn也是一个向量空间。　　下面看由