(线性代数)第二章 n维向量.ppt

例5. 设?1, ?2, ?3线性无关, 证明 ?1= ?1+?2+?3, ?2= ?2+?3, ?3=?3 也线性无关. 证明3： 设 x1 ? 1 + x2 ?2+ x3 ?3 = 0 ? x1 = x2 = x3 =0. ? ? 1 , ? 2 , ?3 线性无关. ? x1 (?1+?2+?3) + x2(?2+?3)+ x3?3 = 0 ? x1?1 + (x1+ x2)?2 + (x1+ x2 + x3)?3 = 0 ?1, ?2, ?3线性无关, ? §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 第二章 n维向量 证明： 设 x0 ? + x1A?+ x2A2? + ?+xk?1 Ak?1? = 0 x2 = x3 = ?= xk?1 = 0. ? ?, A?, A2?, ?, Ak?1? 线性无关. ? x0 Ak?1? = 0 ? x0 = 0 §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 第二章 n维向量 两边左乘Ak?1 Ak?1? ? 0 则有 x1A?+ x2A2? + ?+xk?1 Ak?1? = 0 两边左乘Ak?2， 可得x1 = 0 继续此过程，可得 二. 几个重要的结论 §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 ?1,?2,…,?s 线性相关 ? k1?1+…+ks?s =? 有非零解. ?1,?2,…,?s 线性无关 ? k1?1+…+ks?s =? 只有零解. 线性相关的几何含义: 两个向量共线;三个向量共面. （部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关） （若相关，则减维也相关；若无关，则增维也无关） 二. 几个重要的结论 定理2.3. 向量组?1, ?2, …, ?s (s?2) 线性相关 ? 至少有某一个向量可由其余的向量线性表示. 证明：向量组?1, ?2, …, ?s (s?2) 线性相关 ? ?一组不全为0的数k1, k2, …, ks , s.t. k1 ?1+ k2 ?2+ …+ ks?s = ? ?设k1?0, 则 ? ?1可由?2, …, ?s 线性表示. ? ? §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 第二章 n维向量 二. 几个重要的结论 定理2.3. 向量组?1, ?2, …, ?s (s?2) 线性相关 ? 至少有某一个向量可由其余的向量线性表示. 注1：如果?1, ?2, …, ?s (s?2) 线性相关，该定理并没有断定每个向量都可由其余向量线性表示, 也没有确定哪个向量可由其余向量线性表示. 逆否命题：向量组?1, ?2, …, ?s (s?2) 线性无关 ? 每一个向量都不能由其余的向量线性表示. 因此，不能由“某个向量不能由其余向量线性 表示”来断定这组向量线性无关. §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 第二章 n维向量 定理3.3(唯一表示定理). …, ?s线性表示, 并且线性表示的方式是唯一的. 若?1, ?2, …, ?s线性无关, 而?1, ?2, …, ?s, ? 线性相关, 逆否命题：若?1, ?2, …, ?s线性无关, ?不能由?1, ?2, …, ?s线性表示, 则?1, ?2, …, ?s, ? 线性无关. 则? 一定能由?1, ?2 , 证明: ?1, ?2, …, ?s,? 线性相关, ? ?一组不全为0 的数k1,k2,…,ks,k, s.t. k1?1+k2?2+…+ks?s +k? =0 则k?0, 否则?1,?2, …,?s 线性相关, 矛盾. 唯一性:设 ? = k1?1+…+ks?s = l1?1+…+ls?s (k1?l1)?1+…+(ks ?ls )?s = 0 ?k1=l1 , …, ks = ls §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 第二章 n维向量 例7. 设?1, ?2, …, ?n?Rn. 证明: 它们线性无关 ?Rn中任一向量都能由它们线性表示. 证明: (必要性) ?1, ?2, …, ?n线性无关, 所以???Rn, ?, ?1, ?2, …, ?n线性相关, ??可由?1, ?2, …, ?n线性表示. 充分性 显然, e1,e2,…,en可由?1,?2,…,?n线性表示. ?n = r(e1,e2,…,en) ? r(?1,?2,…,?n) ? n. ??1,…,?n 线性无关. §2.3 向量组线性相关性的等价刻画 第二章 n维向量 ? r(?1,?2,…,?n) = n 因为任意n+1个n维向量线性相关， 例8. 已知?1,?2,?3线性相关, ?2,?3,?4线性无关 证明: (1) ?1能由?2,?3线性表示. (2) ?4不能由?1,?2,?3线性表示. 证明