线性代数第二章第二小节.ppt

一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 第二节 矩阵的运算 １、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 说明 只有同型矩阵才能进行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 记 -A=(-aij), 称为矩阵A的负矩阵 定义： 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 （设 为 矩阵， 为数） 1、引例 产品 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 一厂 二厂 三、矩阵与矩阵相乘 ⅠⅡⅢ 单位 单位 价格 利润 总收入 总利润 一厂 二厂 可见 c11=a11b11+a12b21+a13b31 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j 2、定义 并把此乘积记作C=AB 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 例１ 设 例2 故 解 注意1　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. 注意2：AB的行数=A的行数；AB的列数=B的列数 练习： 1、 2、 3、 =( ） 4、线性方程组 记 则有AX=b 注意3矩阵乘法不满足交换律， 例3 设 则 如前练习题1、2 一般地AB≠BA 但也有例外，比如设 则有 此时称矩阵A、B可交换。 注意4　矩阵不满足消去律，即： （1）若AB=AC，A≠0不能推出B=C （2）若AB=0不能推出A=0或B=0 例4 设 ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意:一般地 (AB)k≠AkBk 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例5 １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 证(4)：首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵； 其次证明两边矩阵的对应元素相等。 因为(AB)T位于第i行第j列的元素 =AB位于第j行第 i列的元素 =A位于第j 行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和 = BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和 =BTAT位于第i行第j列的元素 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 记C=AB，构造一个 2n阶行列式 =(-1)n|C|(-1)n=|AB| 例6 设 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 例7 设列矩阵 满足 证明 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 称为矩阵 的伴随矩阵. 证明 故 同理可得 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式