2024_2025学年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理教案3新人教A版必修5.doc

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第一章解三角形

1．1．1正弦定理

（一）教学目标

1．学问与技能:通过对随意三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简洁问题

2.过程与方法:让学生从已有的几何学问动身,共同探究在随意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过视察，推导，比较，由特别到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力；培育学生合情推理探究数学规律的数学思思想实力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点

重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用。

难点：正弦定理的推导即理解

（三）学法与教学用具

学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探究，发觉也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发觉向量学问的简捷，新奇。

教学用具：直尺、投影仪、计算器

（四）教学过程

1[创设情景]

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC围着顶点C转动。A

思索：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

明显，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB

2[探究探讨](图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,A

则bc

从而在直角三角形ABC中，CaB

(图1．1-2)

思索：那么对于随意的三角形，以上关系式是否仍旧成立？

（由学生探讨、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据随意角三角函数的定义，有CD=,则，C

同理可得，ba

从而AcB

(图1．1-3)

思索：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来探讨这个问题。

（证法二）：过点A作，C

由向量的加法可得

则AB

∴

∴，即

同理，过点C作，可得

从而

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍旧成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；

（2）等价于，，

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的随意两角及其一边可以求其他边，如；

β

②已知三角形的随意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

3[例题分析]

例1．在中，已知，，cm，解三角形。

解：依据三角形内角和定理，

；

依据正弦定理，

；

依据正弦定理，

评述：对于解三角形中的困难运算可运用计算器。

例2如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：

A

A

B

C

D

证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，

得，，

ABC

A

B

C

D

β

α

1800α

五巩固深化反馈探讨

1已知ΔABC已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:

Ａ３Ｂ２ＣD

（2）已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）

A8B4C4-3D8-8

（3）正弦定理的内容是————————————

（4）已知a+b=12B=450