数值分析拉格朗日插值法...doc

``````````````````````````````````````````` 数值分析拉格朗日插值法 拉格朗日插值的算法设计及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；算法程序；应用；科学。 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,…n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点的函数值=（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，，，...,为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。 Lagrange插值公式 （1）线性插值 设已知 ， 及=f() ,=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过（，），（，）的直线，从而得到 =+（x-）. （2） 为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式 =（x）+(x). 其中， （x）=,(x)=。均为1次多项式且满足 （x）=1且(x)=0。或（x）=0且(x)=1。 两关系式可统一写成= 。 （3） （2）n阶Lagrange插值 设已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足（i=0,1,...n）. 易知=（x）+....+. 其中，均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）为n次多项式的n个根知=c.最后，由 c=,i=0,1,...,n. 总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。 3，Lagrange插值余项 设，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插值多项式，则对任意x[a,b], 其中，位于，，，...,及x之间（依赖于x），(x)= Eg1:已知函数表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin的数值解，并由余项公式估计计算结果的精度。 解：（1）这里有三个节点，线性插值需要两个节点，根据余项公式，我们选取前两个节点，易知： sin()=0.5000+(-) =0.5000+0.2071=0.6381 截断误差， =， 得知结果至少有1位有效数字。 易知sin 0.7071+=0.8660=0.6434 截断误差为： 得知结果至少有两位数字。 比较本题精确解sin=0.642787609...,实际误差限分别为0.0047和0.00062。 4，Lagrange插值算法和程序 function yy=nalagr(x,y,xx) %用途：Lagrange插值法数值求解；格式：yy=nalagr(x,y,xx) %x是节点向量，y是节点上的函数值，xx是插值点（可以多个），yy返回插值 m=length(x);n=length(y); if m~=n,error(向量x与y的长度必须一致);end s=0; for i=1:n t=ones(1,length(xx)); for j=1:n if j~=i t=t.*(xx-x(i))/(x(i)-x(j)); end end s=s+t*y(i); end yy=s; 用以上程序的Eg1的结