2017考研究生数学基础精讲内部辅导讲义(高等数学)数学名师.pdf

目 录 第一讲 函数、极限、连续性 1 第二讲 导数与微分 6 第三讲 微分中值定理及导数的应用 9 第四讲 一元函数积分学 12 第五讲 微分方程 17 第六讲 多元函数微分学 20 第七讲 重积分 25 第八讲 曲线积分与曲面积分* 29 第九讲 无穷级数*△ 35 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 第一讲 函数、极限、连续性 一、函数 1. 函数 (1)函数的定义 设数集D ⊂R ，则称映射f :D →R 为定义在D 上的函数，简记为y f (x ) ，x ∈D ， 其中 D x 称为自变量，y 称为因变量， 称为定义域，记为Df ，f (D ) 为值域，记为Rf . (2)函数定义的两要素：定义域，对应法则. 2. 函数的特性 (1)有界性 若∃M 0 ，对于∀x ∈I ，都有f (x) ≤M ，则称f (x) 在I 上有界. (2)单调性 设函数f (x) 的定义域为D ，区间I ⊂D ，若对于∀ x ,x ∈I ，当x x 时，有 1 2 1 2 f (x) I f (x ) f (x ) (f (x ) f (x )) ，则称 在区间 上单调增加(单调减少). 1 2 1 2 (3)奇偶性 设函数的定义域为I ，对于∀x ∈I ，若f (−x) −f (x) ，则称f (x) 是奇函数；若 f (−x) f (x) ，则称f (x) 是偶函数. 注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的 − − + − f (x) f ( x) f (x) f ( x) 形式，即：f (x) + . 2 2 (4)周期性 设 f (x) 的定义域为 I ，若 ∃T 0 ，对于 ∀x ∈I ，使得 f (x +T) f (x) (x +T ∈I ) ，则称f (x) 为周期函数，T 为f (x) 的周期，通常周期是指最小正周期. 3. 反函数 设函数f :D →f (D ) 是单射，则它存在逆映射f −1 : f (D ) →D ，则称映射f −1 为函 数f 的反函数. 注：(1) f −1[f (x )] x ，f [f −1(x)] x . (2)单调函数存在反函数，反之不成立. 4. 复合函数 设函数y f (x ) 的定义域为Df ，函数u g (x) 的定义域为Dg ，且其值域Rg ⊂Df ， 则函数y f [g (x )] ,x =∈Dg 称为由函数u g (x) 与函数y f (u ) 构成的复合函数. 注：只有当函数u ϕ(x) 的值域与y f (u) 的定义域的交非空时，才能将它们复合成 复合函数. 5. 初等函数 (1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.