高等数学基础第3讲.doc

第3讲 导数与微分 高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。 3.1 导数的概念 一、函数的变化率 对于函数，我们要研究怎样随变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图 我们可以看出，对于相同的自变量的改变量，所对应的函数改变量是不同的。可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数在一点的变化率呢？ 二、导数的概念 根据前面的介绍，我们给出下面的定义。 定义3.1 设函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在处的改变量，函数相应的改变量为，如果当时极限 存在，则此极限值称为函数在点处的导数，或在点处函数关于自变量的变化率，记作 ，或 这时，称函数在点处是可导的。 根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。 例1 根据导数定义求在点处的导数。 解 根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求： （Ⅱ）求： （Ⅲ）求： 因此得出。 如果函数在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数，称为的导函数。在点的函数值就是在点的导数。 例2 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。 例3 根据导数定义求（为自然数）在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。 可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。 例4 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。这个结果可以写成。 例5 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。这个结果可以写成 从这两个例子可以看出公式不仅在为自然数时成立，而且当和时也成立。因此我们不妨认为对任意实数，有。 下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子，为此先给出第2个重要极限的另一种形式 的另一种形式是 另外，记 称为自然对数。 例6 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 注意到，当时有，设，第2个重要极限公式有 且是连续函数，所以有 因此得出。 例7 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 注意到，当时有，设，据第1个重要极限公式有 且是连续函数，所以有 因此得出。 下面我们给出基本初等函数的导数公式 三、导数的几何意义 从下面这个图中 我们可以看出，函数在点处的导数，就是函数曲线在过点处的切线的斜率。这样便可得到切线的方程 例8求函数在点处的切线方程。 解 ，所以。由此得切线方程 即。 定理3.1 若函数在点处可导，则在连续。 证 由于 由定理2.1，有 其中是无穷小量。上式可写成 由此得 定理3.1的结论是不可逆的，例如函数在点连续，但在该点不可导。 3.2 求导法 一、导数的四则运算法则 我们可以看出，由定义求导是很复杂的，有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少，为此我们给出下面的运算法则： 设函数和在点处可导，则有 上述公式我们称为导数的四则运算法则。根据第3个公式还可以得到，若函数在点处可导，为任意常数，则有 对于导数的四则运算法则，我们仅就加法和乘法法则加以验证： 因为 所以 即 又因为 所以 即 例9求下列函数的导数： ⑴ ⑵ ⑶ 解 利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算： ⑴ ⑵ ⑶ 二、复合函数导求导法则 有了导数四则运算法则以后，可以求导的函数类型被大大地扩充了。但仍有我们无法解决的类型，如，等函数。 定理3.5 设函数，，且在点处可导，在相应的点处可导，则复合函数在点处可导，且 简单验证这个定理。由于 在 点处可导，则在点处连续，因此有。故有 由导数定义得到 称定理3.5为复合函数求导法则，也称为链锁法则。 例10求下列函数的导数： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解 利用复合函数求导法则进行计算： ⑴设，有 ⑵设，有 ⑶设，有