高数习题集(附答案解析).doc
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第一章 函数与极限
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函数与极限
§1 函数
必作习题
P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17
必交习题
一、一列火车以初速度,等加速度出站,当速度达到后,火车按等速运动前进;从出站经过时间后,又以等减速度进站,直至停止。
写出火车速度与时间的函数关系式;
作出函数的图形。
证明函数在内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性:
(1) ;
(2);
(3)。
证明:若为奇函数,且在有定义,则。
§2 初等函数
必作习题
P31-33 1,8,9,10,16,17
必交习题
设的定义域是,求下列函数的定义域:
(1);
(2);
(3);
(4)。
二、(1)设,求;
(2)设,求;
(3)设,求,。
三、设是的二次函数,且,,求。
四、设,,求。
§3 数列的极限
必作习题
P42 3 (3) (4),4,5,6
必交习题
写出下列数列的前五项
(1);
(2);
(3)。
二、已知,用定义证明:
§4 函数的极限
必作习题
P50 1 (2) (4),2(2),3,4,7,9
必交习题
一、用极限的定义证明:。
二、用极限的定义证明:。
三、研究下列函数在处的左、右极限,并指出是否有极限:
(1);
(2)
四、用极限的定义证明:
§5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则
必作习题
P54-55 3,4,5; P63 1,2,3
必交习题
一、举例说明(当时):(1)两个无穷小的商不一定是无穷小;(2)无界量不一定为无穷大量。
二、求下列数列的极限:
(1)=
(2)=
(3)=
三、求下列函数的极限:
(1)=
(2)=
(3)=
(4)=
四、设,求。
§7 极限存在准则 ,两个重要极限 §8 无穷小的比较
必作习题
P71 1,2,4; P74 1,2,3,4
必交习题
求下列极限:
(1) =
(2)=
(3)=
(4)=
(5)=
二、用极限存在准则求证下列极限:
(1)设~;证明:
(2)设,。证明此数列收敛,并求出它的极限。
三、确定的值,使下列函数与,当时是同阶无穷小:
(1);
(2);
(3)。
四、已知,求. 。
三、用极限定义证明:
(1) 若,则对任一自然数,也有;
(2) 若,则,并举例说明反之未必成立;
(3) 若,则。
设数列有界,又,证明。
§9 函数的连续性与间断点
必作习题
P80 1,2,3
必交习题
一、当时下列函数无定义,试定义的值,使在连续:
(1);
(2)。
二、指出下列函数的间断点并判定其类型:
(1);
(2);
(3)。
三、确定,使函数有无穷间断点;有可去间断点。
设函数在上有定义,且对任何有
,
证明:若连续,则上连续。
§10 连续函数的运算与初等函数的连续性
§11 闭区间上连续函数的性质
必作习题
P85-86 1,2,3; P91 1,2,3
必交习题
欲使
在处连续,求。
二、求下列极限:
(1)=
(2)=
(3)=
(4)=
三、证明方程1至少有一根介于1和2之间。
四、设函数在区间上连续,,证明在区间上至少存在一点使得。
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