高数极限习题及答案.doc

练习题 1. 极限 (5) 已知, 求常数a, b. (6) (7) (8) (9) (10) 2. 函数的连续性 (1) 确定b的值, 使函数 在x=0点连续. (2) 确定a, b的值, 使函数 在整个实数轴上连续. (3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② 3. 连续函数的性质 (1) 设, 证明：有一个不大于1的正根. (2) 若, 且, 证明: 内有界. 提高 1o内至少有一个最值存在. 2o 对于最值与A间的任意值C, 存在, 使得 . 2. 函数的连续性 (1) 确定b的值, 使函数 在x=0点连续. 解: (2) 确定a, b的值, 使函数 在整个实数轴上连续. 解: (3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. = 1 \* GB3 ① 解: x=0为可去间断点. = 2 \* GB3 ② 解:, x=0为跳跃间断点. 3. 连续函数的性质 (1) 设, 证明：有一个不大于1的正根. 解: 若n=1, 则显然有解x=1. 若n1, 则, 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根.. (2) 若, 且, 证明: 内有界. 解: 由可知: , 当时, , 故 由可知, 故,当时, 取即可. 提高 1o内至少有一个最值存在. 2o 对于最值与A间的任意值C, 存在, 使得 . 证明: 若, 则显然结论成立. 设存在, 则存在X0, 当时, 有 于是: 由, 可知存在 从而内有最大值. 对于任意的C, , 存在X10, 当时, 有 于是有 . 分别在闭区间上使用介值定理即可得结论2o.