9-4高等数学同济大学第六版本.doc

习题9(4 1( 求球面x2(y2(z2(a2含在圆柱面x2(y2(ax内部的那部分面积( 解 位于柱面内的部分球面有两块( 其面积是相同的( 由曲面方程z(得( ( 于是 ( 2( 求锥面z(被柱面z2(2x所割下的部分的曲面的面积( 解 由z(和z2(2x两式消z得x2(y2(2x( 于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2(y2(2x( 由曲面方程得( ( 于是 ( 3( 求底面半径相同的两个直交柱面x2(y2(R2及x2(z2(R2所围立体的表面积( 解 设A1为曲面相应于区域D( x2(y2(R2上的面积( 则所求表面积为A(4A1( ( 4( 设薄片所占的闭区域D如下( 求均匀薄片的质心( (1)D由( x(x0( y(0所围成( 解 令密度为((1( 因为区域D可表示为( 所以 ( ( ( 所求质心为 (2)D是半椭圆形闭区域( 解 令密度为((1( 因为闭区域D对称于y轴( 所以( (椭圆的面积)( ( 所求质心为( (3)D是介于两个圆r(acos(( r(bcos((0(a(b)之间的闭区域( 解 令密度为((1( 由对称性可知( (两圆面积的差)( ( 所求质心是( 5( 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y(x2及直线y(x所围成( 它在点(x( y)处的面密度((x( y)(x2y( 求该薄片的质心( 解?? ( ( 质心坐标为( 6( 设有一等腰直角三角形薄片( 腰长为a( 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方( 求这薄片的质心( 解 建立坐标系( 使薄片在第一象限( 且直角边在坐标轴上( 薄片上点(x( y)处的函数为((x2(y2( 由对称性可知( ( ( 薄片的质心坐标为( 7( 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度((1)( (1)z2(x2(y2( z(1( 解 由对称性可知( 重心在z轴上( 故( (圆锥的体积)( ( 所求立体的质心为( (2)( (A(a(0)( z(0( 解 由对称性可知( 重心在z轴上( 故( (两个半球体体积的差)( ( 所求立体的质心为( (3)z(x2(y2( x(y(a( x(0( y(0( z(0( 解 ( ( ( ( 所以立体的重心为( 8( 设球体占有闭区域(({(x( y( z)|x2(y2(z2(2Rz}( 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方( 试求这球体的质心( 解 球体密度为((x2(y2(z2( 由对称性可知质心在z轴上( 即( 在球面坐标下(可表示为( ( 于是 ( ( 故球体的质心为. 9( 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下( 求指定的转动惯量( (1)( 求Iy( 解 积分区域D可表示为 ( 于是 ( 提示( ( (2)D由抛物线与直线x(2所围成( 求Ix和Iy( 解 积分区域可表示为 ( 于是 ( ( (3)D为矩形闭区域{(x( y)|0(x(a( 0(y(b}( 求Ix和Iy( 解 ( ( 10( 已知均匀矩形板(面密度为常量()的长和宽分别为b和h( 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量( 解 取形心为原点( 取两旋转轴为坐标轴( 建立坐标系( ( ( 11( 一均匀物体(密度(为常量)占有的闭区域(由曲面z(x2(y2和平面z(0( |x|(a( |y|(a所围成( (1)求物体的体积( 解 由对称可知 ( (2)求物体的质心( 解 由对称性知( ( (3)求物体关于z轴的转动惯量(