[2017年整理]9-4高等数学同济大学第六版本.doc
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习题9-4
1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积.
解 位于柱面内的部分球面有两块? 其面积是相同的?
由曲面方程z=得, ?
于是
.
2. 求锥面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面积.
解 由z=和z2=2x两式消z得x2?y2?2x? 于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2?y2?2x?
由曲面方程得, ?
于是 .
3. 求底面半径相同的两个直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积.
解 设A1为曲面相应于区域D: x2+y2£R2上的面积. 则所求表面积为A=4A1.
?
4. 设薄片所占的闭区域D如下, 求均匀薄片的质心:
(1)D由, x=x0, y=0所围成;
解 令密度为??1?
因为区域D可表示为? 所以
?
?
?
所求质心为
(2)D是半椭圆形闭区域;
解 令密度为??1? 因为闭区域D对称于y轴? 所以?
(椭圆的面积)?
?
所求质心为?
(3)D是介于两个圆r=acosq, r=bcosq(0ab)之间的闭区域.
解 令密度为??1? 由对称性可知?
(两圆面积的差)?
?
所求质心是?
5. 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成, 它在点(x, y)处的面密度m(x, y)=x2y, 求该薄片的质心.
解??
,
?
质心坐标为.
6. 设有一等腰直角三角形薄片, 腰长为a, 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, 求这薄片的质心.
解 建立坐标系? 使薄片在第一象限? 且直角边在坐标轴上? 薄片上点(x? y)处的函数为?=x2+y2? 由对称性可知?
?
?
薄片的质心坐标为.
7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度r=1):
(1)z2=x2+y2, z=1;
解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故?
(圆锥的体积)?
?
所求立体的质心为.
(2), (Aa0), z=0;
解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故?
(两个半球体体积的差)?
?
所求立体的质心为?
(3)z=x2+y2, x+y=a, x=0, y=0, z=0.
解
?
?
?
?
所以立体的重心为?
8. 设球体占有闭区域?={(x, y, z)|x2+y2+z2£2Rz}, 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心.
解 球体密度为??x2?y2?z2? 由对称性可知质心在z轴上, 即?
在球面坐标下?可表示为? , 于是
?
?
故球体的质心为.
9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下, 求指定的转动惯量:
(1), 求Iy;
解 积分区域D可表示为
?
于是 ?
提示? ?
(2)D由抛物线与直线x=2所围成, 求Ix和Iy;
解 积分区域可表示为
?
于是 ?
?
(3)D为矩形闭区域{(x, y)|0£x£a, 0£y£b}, 求Ix和Iy.
解 ?
?
10. 已知均匀矩形板(面密度为常量m)的长和宽分别为b和h, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系.
?
?
11. 一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所围成,
(1)求物体的体积;
解 由对称可知
?
(2)求物体的质心;
解 由对称性知?
?
(3)求物体关于z轴的转动惯量.
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