高中数学概率的意义练习题.doc
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第1章 概率统计
1-1 随机的意义
重点一 随机的意义
例题1
若有一个公正的骰子，各面的点数分别为1，1，2，2，2，3。假设随机变量X表示骰子出现的点数，试求：
(1) 随机变量X的概率质量函数。（3分）
(2) 随机变量X的概率分布。（3分）
(3) 绘出随机变量X的概率质量函数图。（4分）
解 (1)由题意可知随机变量X可能的取值为1，1，2，2，2，3，可得X的概率质量函数为
P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝
(2)随机变量X的概率分布如下表：
X
1
2
3
pX
(3)随机变量X的概率质量函数图，如下：
重点二 期望值、变异数、标准差
例题2
随机变量X表示投掷一公正的骰子一次可获得的金额。若出现k点可得k元，
(1) 试完成下表中随机变量X的概率分布。（6 分）
X
pX
(2) 试求随机变量X的期望值为 元。（4 分）
解 (1)依题意可列出随机变量X的概率分布如下表：
X
1
2
3
4
5
6
pX
(2)由(1)知，X的期望值为
E（X）＝1 × ＋2 × ＋3 × ＋4 × ＋5 × ＋6 × ＝72＝3.5（元）
例题3
假设袋中有一样大小的红球 5 颗与白球 3 颗，自袋中取出 2 球，设随机变量 X 表示取出的红球数，试求：
(1) P（X＝1）＝ 。（5 分）
(2) 取出红球数的期望值为 颗。（5 分）
解 (1)概率质量函数 P（X＝k）＝，k＝0，1，2
其概率分布如下表：
X
0
1
2
pX
故 P（X＝1）＝
(2)期望值 E（X）＝0×＋1×＋2×＝＝（颗）
例题4
袋中有1号球1个，2号球2个，3号球3个，……，10号球10个。今由袋中任取一球，若抽得k号球可得k元，则任抽一球的期望值为 元。（10 分）
解 球的总数有1＋2＋3＋……＋10＝＝55
设随机变量X表示取出的球号
随机变量X的概率分布如下表：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
pX
E（X）＝× ＝＝＝7（元）
例题5
掷一枚均匀硬币三次，每出现一个正面可得3元，一个反面赔2元，则所得总额的期望值为
元。（10 分）
解 设随机变量X表示投掷一枚硬币三次所得总额，随机变量X的概率分布如下表：
X
9（三正）
4（二正一反）
－1（一正二反）
－6（三反）
pX
期望值E（X）＝9×＋4×＋（－1）×＋（－6）×＝＝（元）
例题6
某次考试的选择题，每一题设有5个选项，每题答对得4分，不答不给分，则答错应扣 分才公平。（10 分）
解 答对概率p＝，答错概率q＝，设答错得x分
所谓公平是指期望值为0，所求E（X）＝4×＋x×＝0
∴x＝－1，应扣1分
例题7
已知有4位同学的数学成绩为30，40，50，60，试求：
(1)平均数为 。（3 分）
(2)变异数为 。（4 分）
(3)标准差为 。（3 分）
解 (1)平均数为＝45
(2)变异数为
＝
＝125
(3)标准差为5
例题8
设随机变量X，其概率分布如下表：
X
0
10
20
30
40
pX
(1)期望值为 。（3 分）
(2)变异数为 。（4 分）
(3)标准差为 。（3 分）
解 (1)期望值E（X）＝0 × ＋10 × ＋20 × ＋30 × ＋40 × ＝20
(2)变异数Var（X）＝（0－20）2 × ＋（10－20）2 × ＋（20－20）2 ×
＋（30－20）2 × ＋（40－20）2 ×
＝100
(3)标准差＝＝10
例题9
同时投掷两颗公正的骰子，令随机变量X表示两颗骰子的点数和，试求：
(1) 随机变量X的概率分布。（5 分）
(2) 随机变量X的期望值、变异数、标准差。（5 分）
解 (1)
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
pX
(2)期望值E（X）＝2 × ＋3 × ＋4 × ＋5 × ＋6 × ＋7 × ＋8 ×
＋9 × ＋10 × ＋11 × ＋12 × ＝＝7
变异数Var（X）＝（2－7）2 × ＋（3－7）2 × ＋（4－7）2 ×
＋（5－7）2 × ＋（6－7）2 × ＋（7－7）2 ×
＋（8－7）2 × ＋（9－7）2 × ＋（10－7）2 ×
＋（11－7）2 × ＋（12－7）2 × ＝＝
标准差＝
例题10
根据统计资料显示，1月分上海市平均温度是摄氏16度，标准差是摄氏3.5度。已知当摄氏温度为x度，华氏温度为y＝x＋32；若用华氏温度表示，则1月分上海市的平均气温是华氏 度，标准差是华氏 度。（计算至小数点后第一位，以下四舍五入）（10 分）
解 ?μY＝ × μX＋32＝ × 16＋32＝60.8（°F）
?σY＝＝
＝＝ × 3.5＝
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