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课时跟踪训练(二十五) 一、选择题 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　) A.＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0 [解析]　A显然正确，由平行四边形法则知B正确．C中－＝，所以错误．D中＋＝＋＝0. [答案]　C 2．如图所示，已知＝2 ，＝a，＝b，＝c，则下面等式中成立的是(　　) A．c＝b－a B．c＝2b－a C．c＝2a－b D．c＝a－b [解析]　由＝2得＋＝2(＋)，即2＝－＋3，即c＝b－a. [答案]　A 3．若a，b是向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　两个向量相等指的是大小相等方向相同，所以a＝b是|a|＝|b|的充分不必要条件，故选A. [答案]　A 4．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D [解析]　＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b) ＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2， 与共线．又有公共点B， A、B、D三点共线． [答案]　A 5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．ab C．a＝2b D．ab且|a|＝|b| [解析]　表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意． [答案]　C 6．在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝2，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. [解析]　由＝x＋(1－x)，得－＝x(－)，＝x＝－2x，又点O在线段CD上(与点C，D不重合)，0－2x1，－x0. [答案]　C 7．已知向量a，b，c都不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3R)，则(　　) A．λ1，λ2，λ3一定全为0 B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0 C．λ1，λ2，λ3全不为0 D．λ1，λ2，λ3的值只有一组 [解析]　在ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a，b，c都不平行，且a＋b＋c＝0，排除A，B；又2a＋2b＋2c＝0，排除D.故选C. [答案]　C 8．已知ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　由已知条件得＋＝－.如图，延长AM交BC于点D，则D为BC的中点．延长BM交AC于点E，延长CM交AB于点F，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，所以M为ABC的重心，所以＝＝(＋)，即＋＝3，故m＝3. [答案]　B 9．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的(　　) A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB边的中点 [解析]　设AB的中点为M，则＋＝，＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点． [答案]　B 10．(2016·郑州二检)如图，在ABC中，A＝60°，A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λR)，则AD的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3. [答案]　B 二、填空题 11．(2015·新课标全国卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. [解析]　由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μR，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝. [答案]　 12．在ABC中，＝a，＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则＝________(用a，b表示)． [解析]　如图所示，＝＋ ＝－＋ ＝－＋×(＋) ＝－＋＋ ＝－＋ ＝－a＋b. [答案]　－a＋b 13．(2016·合肥质检)已知ABC的面积为12，P是ABC所在平面上的一点，满足＋＋2＝3，则ABP的面积为________． [解析]　由＋＋2＝3，得＋＋2＝3－3，4＋2(－)＝0，2＝，由此可得PA与CB平行且|CB|＝2|PA|，故ABP的面积为ABC的面积的一半．又ABC的面积为12，故ABP的面积为6. [答案]　6 三、解答题 14．如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示和