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课时跟踪训练(十五) 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) [解析]　由y＝f ′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1，0)上增长速率越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢． [答案]　B 2.如图所示是函数f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数 [解析]　由图可知，当－3x0时，f ′(x)0，所以f(x)在(－3，0)上是减函数．故选A. [答案]　A 3．(2016·湖北八校联考)函数f(x)＝2lnx－ax(a0)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D．(－∞，a) [解析]　由f ′(x)＝－a0，得0x. ∴f(x)的单调递增区间为.故选A. [答案]　A 4．(2016·江西临川一中期中)若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) [解析]　由题意知x0，f ′(x)＝1＋.要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在x0上有解，所以a0. [答案]　C 5．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　) A．f f(1)f B．f (1)f f C．f f(1)f D．f f f(1) [解析]　由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，知f(x)是偶函数． f ′(x)＝sinx＋xcosx，当0x时，f ′(x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数．又01，所以f f(1)f . 因为f ＝f ， 所以f f(1)f .故选A. [答案]　A 6．(2016·山东师大附中二模)设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增 B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减 C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10 D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点 [解析]　∵f(x)＝x3－12x＋b，∴f ′(x)＝3x2－12. 令f ′(x)0，即3x2－120，解得0－2或x2，∴函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数；令f ′(x)0，即3x2－120，解得－2x2，∴函数f(x)在(－2，2)上为减函数．排除A，B. 当b＝－6时，f(x)＝x3－12x－6，f(－2)＝－8＋24－6＝10，∴曲线的切点为(－2，10)．∴f ′(x)＝3x2－12，∴k＝f ′(－2)＝0，∴切线方程为y＝10，故C正确． 当b＝0时，f(x)＝x3－12x，f ′(x)＝3x2－12，令f ′(x)＝0，得x＝±2，∴函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，且f(－2)＝16，f(2)＝－16，∴函数f(x)的极大值为16，极小值为－16，∴函数f(x)的图象与直线y＝10有三个公共点，故D错． 综上可得，选C. [答案]　C 7．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　) A．0a B.a C．a≥ D．0a [解析]　f ′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1，1]时，f ′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a， 则有 即解得a≥.选C. [答案]　C 8．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf ′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞) [解析]　构造函数y＝g(x)＝，通过研究g(x)的图象的示意图与性质得出使f(x)0成立的x的取值范围． 设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x0时，xf ′(x)－f(x)0，∴g′(x)0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图