【步步高】届高三数学北师大版通用,理总复习讲义：第九章 ..doc

§9.6　抛物线 1． 抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 2． 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p0) y2＝－2px(p0) x2＝2py(p0) x2＝－2py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F\a\vs4\al\co1(\f(p2)，0) F\a\vs4\al\co1(－\f(p2)，0) F\a\vs4\al\co1(0，\f(p2)) F\a\vs4\al\co1(0，－\f(p2)) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x＝－a4. (　×　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　×　) (4)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点F(p2，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. (　√　) 2． 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A.－\f(112) B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 答案　C 解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 3． (2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于 (　　) A．22 B．23 C．4 D．25 答案　B 解析　由题意设抛物线方程为y2＝2px(p0)， 则M到焦点的距离为xM＋p2＝2＋p2＝3， ∴p＝2，∴y2＝4x. ∴y20＝4×2＝8， ∴|OM|＝20)＝4＋8＝23. 4． 动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 答案　y2＝4x 解析　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 5． 若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为________． 答案　4 解析　因为椭圆x26＋y22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4. 题型一　抛物线的定义及应用 例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标． 思维启迪　由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题． 解　将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝±6. ∵62，∴A在抛物线内部，如图． 设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF| ＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)． 思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 (　　) A.17)2 B．3 C.5 D.92 答案　A 解析　抛物线y2＝2x的焦点为F(12，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结