[2017年整理]5第五章作业.doc

静电场作业 一、如图5-54所示，一根细橡胶棒被弯成半径为R的半圆形，沿其左半部分均匀分布有电荷+Q，沿其右半部分均匀分布有电荷－Q。试求圆心O处的电场强度。 【答案：】 解：如图所示，在半圆环的左半部分取元电荷?dl右半部分元电荷?dl，它们在O点产生的电场强度大小相等，均为 这两个电场强度的方向不同，将它们都沿着坐标轴方向进行分解，它们的y分量互相抵消，x分量互相加强。其x分量为 其中，，因此 对上式积分，即得圆心O处的电场强度大小为 考虑到方向性，O处的电场强度可以写为 四、如图5-57所示，一个无限长均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线AB单位长度上的电荷为?，试求轴线上任一点的电场强度。 【答案：】 解：图，l宽的微分条的电荷线密度为 在?位置处取，它在轴线上一点产生的场强为 将这个微分电场强度沿着坐标轴方向进行分解，考虑到对称性。其x分量一一抵消，y分量互相加强。其y分量为 对上式积分，得轴线上任一点电场强度的大小为 考虑到方向性，轴线上任一点的电场强度可以写为 五、如图5-58所示，一个电荷面密度为?的无限大平面，在距离平面r处的P点的场强大小的四分之一是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的。试求该圆半径的大小。 【答案：】 解：?的无限大均匀带电平面在任意点产生的场强大小为 半径为R的圆平面在其轴线上距圆心为r处的P点产生的场强大小为 由题意可得，，即 由上式解得该圆半径为 八、图5-61所示的是一个厚度为a的无限大均匀带电平板，其电荷体密度为?。设坐标原点O在带电平板的中央平面上，坐标轴垂直于平板。试求板内、板外的场强分布，并画出场强随r的变化图线。 【答案：当r-a/2时,; 当-a/2≤r≤a/2时,;当ra/2时,】 解：S的高斯柱面（右图中板的厚度被放大了）, 两底面距离中心平面均为, 通过该高斯面的电通量为 由高斯定理得 解之得 当时，，该区域的场强大小为 考虑到方向性，上式可以写为 当时，，该区域的场强大小为 考虑到方向性，上式可以写为 场强随r的变化图线如图所示。 九、一个半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 ??=kr2 (r≤R) ， ??=0 (r＞R) 其中k为常量。试求球内、球外的场强分布。 【答案：当r≤R时,; 当rR时,】 解： 由高斯定理得 解之得 为求高斯面包围的电量，在高斯面内作与高斯面同心的半径为a、厚度为da微分球壳，其内包含的电量为 当r≤R 时，高斯面内包围的电量为 该区域的场强分布为 当rR 时，高斯面内包围的电量为 该区域的场强分布为 球内、球外的场强方向均沿径向，当k0时向外，k0时向内。 十、如图5-62所示，一块厚度为h的无限大带电平板 ，其电荷体密度为?＝ax (0≤x≤h )，式中a是大于零的常量。试求 (1) 平板外两侧任一点处的电场强度； (2) 平板内任一点处的电场强度；(3) 何处的电场强度为零？ 【答案：当xh时，，当x0时，; 当rR时,, 当时，，，时，E0; 当时，E=0】 解：(1) 为求高斯面包围的电量，在高斯面内作底面积大小为S、厚度为dx的微分柱体，其电荷为 对上式积分得高斯面包围的电量为 由高斯定理得 解之得平板外两侧任一点处的电场强度大小为 当xh时，电场强度的方向沿x轴正方向，当x0时，电场强度的方向沿x轴负方向。 (2)设平板内任一点P到O点的距离为x，如图所示， 高斯面包围的电量为 由高斯定理得 将代入上式，解之得平板内任一点处的电场强度大小为 当时，电场强度的方向沿x轴正方向，当时，电场强度的方向沿x轴负方向。 (3)令，即 解之得 即当时，电场强度的等于零。 十二、一个半径为R的无限长圆柱形带电体，其电荷体密度为??=br (r≤R)，式中b为常量。试求 (1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；(2) 选取与圆柱体轴线距离为h (h＞R) 处的电势为零，计算圆柱体内、外各点的电势分布。 【答案：当r≤R时,，; 当rR时,，】 解：(1) 由高斯定理得 解之得