高等数学 第八章 多元微分 第二节 偏导数.ppt

定义 类似可定义对 y 的偏导数 注 二元偏导数的定义及记号，可以推广到二元以上的函数 . 例6. 求函数 内容小结 作业 备用题 * 偏导数概念及其计算 第八章 多元函数微分法 第二节 上页 下页 返回 结束 偏导数 高阶偏导数 在点 存在, 对 x 的偏导数， 的某邻域 则称此极限为函数 如果极限 设函数 一、 偏导数定义及其计算法 当 y 固定在 , 而x 在 处有增量 时， 相应地函数有增量 上页 下页 返回 结束 内有定义， 记为 若函数z = f ( x , y )在区域 D 内每一点 ( x , y ) 处 为z = f(x, y) 对x 的偏导函数， 简称为偏导数， 记为 对x 的偏导数 上页 下页 返回 结束 都存在， 则将这个新函数称 类似地, z = f(x, y) 对y 的偏导函数 例1 . 求 解一 解二 在点(1 , 2) 处的偏导数. 上页 下页 返回 结束 注 例2. 设 解 求 解 上页 下页 返回 结束 例3. 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数定义为 (请自己写出) 上页 下页 返回 结束 例4. 求三元函数 的偏导数. 解 上页 下页 返回 结束 注 偏导数记号是一个 整体记号,不能看作分 子与分母的商 ! 例5. 已知理想气体的状态方程 求证: 证 (R 为常数) , 上页 下页 返回 结束 多元函数连续与偏导的关系 显然 例6 在上节已证得 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 一元函数: 连续 结论： 多元函数: 连续 注 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义来计算. 上页 下页 返回 结束 可导 偏导存在 x z y 0 ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L： L = tan? 偏导数的几何意义 y =y0 M Tx 固定 y =y0 上页 下页 返回 结束 曲线L在点M的切线 关于x 轴的斜率 M ? z= f (x,y) L x = x0 固定 x = x0 Tx . x z y 0 上页 下页 返回 结束 M ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L = tan? x = x0 固定 x = x0 Tx ? Ty . x z y 0 上页 下页 返回 结束 曲线在点M的切线 关于y 轴的斜率 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在区域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导函数仍存在偏导数， 则称它们的偏导 按求导顺序不同, 有下 列四个二阶偏导数: 上页 下页 返回 结束 数为z = f ( x , y )的二阶偏导数. 类似可定义三阶、四阶，……，n阶偏导数,统称 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n – 1 阶偏导数,再关于 y 求 偏导数,得 为高阶偏导数. 上页 下页 返回 结束 解 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 上页 下页 返回 结束 定理. 本定理对 一般 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 反例： 可算得 上页 下页 返回 结束 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 上页 下页 返回 结束 P50 9(1,2,4); 12(单)；13 上页 下页 返回 结束 设 而方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解 上页 下页 返回 结束 * * * * *