常用放缩方法技巧.doc
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常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
⑴添加或舍去一些项，如：；
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：；
⑷二项式放缩: ,,
(5)利用常用结论：
Ⅰ. 的放缩 ：
Ⅱ. 的放缩(1) ： （程度大）
Ⅲ. 的放缩(2)：（程度小）
Ⅳ. 的放缩(3)：（程度更小）
Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:和
记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：，从而实现利用函数单调性质的放缩：。
先求和再放缩
例1.,前n项和为Sn ，求证：
例2. , 前n项和为Sn ，求证：
先放缩再求和
（一）放缩后裂项相消
例3．数列，，其前项和为 ，求证：
（二）放缩后转化为等比数列。
例4. 满足：
用数学归纳法证明：
，求证：
三、裂项放缩
例5.(1)求的值; (2)求证:.
例6.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证：
例7.求证:
例8.已知,,求证:.
四、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
例9. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
例10.证明:
五、均值不等式放缩
例11.设求证
例12.已知函数，a0,b0,若，且在[0，1]上的最大值为，
求证：
六、二项式放缩
,,
例13.设，求证.
例14. , 试证明：.
七、部分放缩(尾式放缩)
例15.求证:
例16. 设求证：
八、函数放缩
例17.求证：.
例18.求证:
例19. 求证:
九、借助数列递推关系
例20. 若,求证:
例21.求证:
十、分类放缩
例22.求证:
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