大学中常用不等式放缩技巧.doc

大学中常用不等式,放缩技巧 大学中常用不等式,放缩技巧 一： 一些重要恒等式 ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2 Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0lt;alt;1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用） cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)] sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2) sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2) cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 　tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai) ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编） 二 重要不等式 1:绝对值不等式 ︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式 （1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1) 3：柯西不等式 (∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱) (a+b)p≤ap+ bp (0lt;plt;1) (a+b)p≥ap+ bp (pgt;1) 6:(1+x)n≥1+nx (xgt;-1) 7:切比雪夫不等式 若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi 若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi 三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2nlt;1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√ngt;√n; 3：n！lt;【(n+1/2)】n 4：nn+1gt;(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！gt;｛(n+1)！｝n 6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8:均值不等式我不说了（绝对的重点） 9：（1+1/n）nlt;4 四：一些重要极限 (书上有，但这些重要极限需熟背如流) 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先 对 极限的总结 如下 极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 ） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！） 必须是 函数的导数要存在