数列型不等式放缩技巧九法　.doc

　 PAGE 　　　 　　　 PAGE1 / NUMPAGES9　　 　　　 数列型不等式的放缩技巧九法　　　 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：　　　 一 利用重要不等式放缩　　　 均值不等式法　　 例1 设求证　　　 解析 此数列的通项为　 ，，　　 即　　　 注： = 1 \* GB3 ①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！　　 = 2 \* GB3 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里　　　 　　 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。　　 例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：（02年全国联赛山东预赛题）　 简析 　　 　 例3 求证.　　　 简析 不等式左边　　　 =，故原结论成立.　　 2．利用有用结论　 例4 求证　 简析 本题可以利用的有用结论主要有：　　 法1 利用假分数的一个性质可得　 　　 即　　　 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得　 　　 注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：　　　 证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 　 例5 已知函数　　　 求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题）　　　 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：　　　 　　 　　　 而由不等式得　　　 (时取等号)　 （），得证！　 例6 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）　　 解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：　　 。于是，　　　 即　 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：　　 　 ，　　 即　 例7 已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：　　　 求证（05年湖北卷第（22）题）　 简析 当时，即 　　 于是当时有　　 注： = 1 \* GB3 ①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；　　　 = 2 \* GB3 ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。　　 例8 设，求证：数列单调递增且　　 解析 引入一个结论：若则（证略）　　　 整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。　 以代入（）式得　 此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。　　 注： = 1 \* GB3 ①上述不等式可加强为简证如下：　　 利用二项展开式进行部分放缩：　 只取前两项有对通项作如下放缩：　 　 故有　　　 = 2 \* GB3 ②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）　 简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。　 二 部分放缩　　 例9 设求证：　　　 解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，　 于是　　　 例10 设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题）　　　 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。　 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得　　　 　　　 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。　 三 添减项放缩　　　 上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。　　 例11 设，求证.　　　 简析 观察的结构，注意到，展开得　 ，　　 即，得证