专题4-9 数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题（原卷版） -.docx

专题4-9数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题

数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一通项放缩 3

题型二与导数结合的放缩 7

题型三数列恒成立问题 8

1．常见的裂项公式：必须记

例如：或者等

2.一个重要的指数恒等式：

次方差公式

这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.

3.糖水不等式：设，则.

4.利用导数产生数列放缩：由不等式可得：.

常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）

一、等差型

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

二、根式型

（5）；

（7）；

（8）

；

（9）

；

三、指数型

（10）；

（11）；

（12）；

（13）．

（14）．

（2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（????）

A． B． C． D．

重点题型·归类精讲

重点题型·归类精讲

题型一通项放缩

已知，若数列的前n项和为，求证：.

已知，证明：

（2014全国2卷）已知，证明：.

已知，的前项和为，，，数列的前项和为，证明：.

的整数部分是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

2023届·广东省综合素质测试（光大联考）

已知正项数列的前n项和为，且满足.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设数列的前n项和为，证明：

2024届·广州·仲元中学校考

已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，，

(1)求和的通项公式：(2)记，证明：

已知数列前n项积为，且，设，求证：．

已知，数列，证明：.

已知，若，为的前n项和，证明：．

题型二与导数结合的放缩

利用导数产生数列放缩：由不等式可得：.

（2017全国3卷）已知函数．

（1）若，求的值；

（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

已知函数，设数列的通项，证明：.

已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围；

（3）设，证明：．

题型三数列恒成立问题

已知等差数列的前n项和记为（），满足,数列为单调递减数列，求的取值范围.

已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为

已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“?n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为.

数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是.

已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是．

设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为.

已知，，设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.

已知数列中，，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.