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放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径.doc

发布:2017-12-27约小于1千字共4页下载文档
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放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,是历年命题的热点,解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径:一是先放缩再求和,二是先求和再放缩。 先放缩再求和 例1 (05年湖北理)已知不等式其中为不大于2的整数,表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足,证明:, 分析:由条件得: …… 以上各式两边分别相加得: = 本题由题设条件直接进行放缩,然后求和,命题即得以证明。 例2 (04全国三)已知数列的前项和满足:, (1)写出数列的前三项,,; (2)求数列的通项公式; (3)证明:对任意的整数,有 分析:⑴由递推公式易求:a1=1,a2=0,a3=2; ⑵由已知得:(n1) 化简得: , 故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列. 故 ∴ ∴数列{}的通项公式为:. ⑶观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能够求和。而左边=,如果我们把上式中的分母中的去掉,就可利用等比数列的前n项公式求和,由于-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:, ,因此,可将保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可求和。这里需要对进行分类讨论,(1)当为偶数时, (2)当是奇数时,为偶数, 所以对任意整数,有。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。 先求和再放缩 例3(武汉市模拟)定义数列如下: 证明:(1)对于恒有成立。 (2)当,有成立。 (3)。 分析:(1)用数学归纳法易证。 (2)由得: … … 以上各式两边分别相乘得: ,又 (3)要证不等式, 可先设法求和:,再进行适当的放缩。 又 原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件裂项求和。
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