放缩法技巧全总结.docx
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2011 高考数学备考之 放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
n
例 1.(1) 求
2 的值 ; (2)求证 : n 1 5 .
1k4k 2 1
1
k
2
k 1 k 3
2解析 :(1) 因为 2
2
4n 1
(2n
2
1)(2n 1)
1
2n 1
1
2n 1
,所以
n 2
2k 1 4 k 1
2
1 1
2n 1
2n
2 n 1
因 为 1
n 2
1
n 2 1
4
4
4n 2 1
1
2
2 n 1
1
2 n 1
,所以 1 1 2 1 1
kn2k 1 3 5
k
n
2
1
2n 1
1 2 5
1
2n 1 3 3
奇巧积累 :(1) 1
n 2
4
4n2
4
4 n2 1
2 1
2n 1
1
2n 1
(2) 1
12C C
1
2
2
( n 1) n(n 1)
1
n( n 1)
1
n( n 1)
rr1Tr 1 Cn
r
r
1
n
n! r !(n
1
rr )! n
r
1 1
r! r (r 1)
n 1 n
1 1
(r 2)
r 1 r
(4) (1 1) n
n
1 1
1 1
2 1 3 2
1 5
n(n 1) 2
(5)
1
2n (2 n 1)
1 1
2n 1 2 n
(6) 1
n 2
n 2 n
(7) 2( n 1 n )
(9) 1
k( n 1 k) n
1
2(
n
1 1
1 k k
n n 1)
1 ,
n 1 n( n
(8)
1
1 k)
2
2 n 1
1
k 1
1 1
2n 3 2n
1 1
n n 1 k
(2 n
1
1) 2 n 1
(2 n
1
3) 2 n
(10)
n
(n 1) !
1
n ! (n
1
1) !
(11)
1
n
2 ( 2n 1
2n 1)
2 2 2
2n 1 2n 1 1 1
n n
2 2
nn(11) 2 2
n
n
2n 2 n 1 1 1
(2 n
1) 2
(2n
1)( 2 n 1)
(2n
1)( 2n 2)
(2n
1)(2n 1 1)
2n 1 1 2n 1(n 2)
(12) 1 n3
1
111
1
1
1
1
n( n
1)( n
1)
n(n
1)
n(n 1)
n
1
n 1
(13)
1 1
n 1 n 1
n 1 n
n 1 n 1
2 n
n n
1 1
n 1 n 1
nn n 2
n
1 2n
2 2 2
(3 1) 2 3
3(2
1) 2
2 1 n
3 2 1 3
(14)
k! (k
k 2
1)! (k
2)!
1
( k 1) !
1
(k 2) !
(15)
1
n(n 1)
n n 1(n 2)
(15)
i2 1
i
j 2 1
j
i 2 j 2
22(i j )( i 1 j 1)
2
2
i j 1
22i 1 j 1
2
2
例 2.(1) 求证 :1 1 1
32 52
1
( 2n
1) 2
7 1 (n 2)
6 2( 2n 1)
(2) 求证 : 1 1 1
4 16 36
1 1 1
4n2 2 4n
求证 : 1
2
1 3 1 3 5
2 4 2 4 6
1 3 5
2 4 6
( 2n 1)
2n
2n 1 1
求证： 2( n
1 1) 1 1 1
2 3
1 2 ( 2n
n
1 1)
解析:(1) 因为
1
2
( 2n 1)
(2n
1
1)( 2n 1)
1 1
2 2n 1
1
2n 1
,所以
n
i 1 (2i
1
1)2
1 1 (1
2 3
1 ) 1
2n 1
1 ( 1
2 3
1 )
2n 1
(2) 1 1 1
4 16 36
1
4n 2
1 (1 1
4 22
1 ) 1 (1 1 1)
n 2 4 n
先运用分式放缩法证明出
1 3 5 (2n 1)
1 ,再结合
1 进行裂项 ,最后就可以得到答案
2 4 6 2n
2n 1
n 2 n
n 2
首 先 1
n
2( n 1 n )
2
n 1 n
,所以容易经过裂项得到
2 ( n
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