第四章 向量的线性相关性习题课.ppt

* * 第四章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 习 题 课 术 洪 亮 本章中我们主要介绍了向量组和方程组的一些有关内容，概括如下。 向量组的相关性; 2.向量组的极大无关组和秩; 3. 向量空间; 4. 线性方程组解的结构. 下面通过举例题来说明 例1. 解:由 可得 而 例2. 设三阶矩阵 其中 均为三维行向量.且 求 解: 例3. 设 线性相关 线性无关, 则正确的结论是 线性相关 线性无关 线性表示 线性表示 答: 正确的结论为C. 例4.讨论向量组 的线性相关性. 解:设有 使 即 亦即 由第一个方程得 代入后两个方程,得 于是有一组不全为0的数1,1,-1使 所以 线性相关. 取 则有 例5:设 是向量组T的极大无关组, 且 试证 也是T的极大无关组 证:首先证明向量组 与 等价 不妨设它们都是行向量, 记 因为 即 令 显然C可逆,则上式为CA=B,从而 所以 可由 线性表示, 故 与 等价 再证 线性无关,因为 , 所以 故 线性无关,从而 也是向量组T的极 大无关组. 例6:设 求矩阵A的秩及A的列向量组的极大无关组. 解:对矩阵A施行初等行变换 为列向量组的极大无关组 例7:已知 问(1) a 、b为何值时， 不能由 线性表示； （2）a 、b为何值时， 能由 唯一 线性表示， 并写出表示式； （3）a 、b为何值时， 能由 线性表示， 且表示法不 唯一， 并写出表示式. 解: 讨论方程组 的解. (1)式无解, 即 不能由 线性表示； b=2 , 时, (1)式有唯一解,此时 故解为 由 线性表示为 b=2,a=1时, (1)式有无穷多解,为 于是 k为任意常数. 例8：验证 为 的一个基，并把 用这个基线性表示 (或求 在这组基下的坐标). 解 要证 是 的一组基, 只须证 线性无关即可, 即只须证A~E. 若A经过行初等变换变为E,即有 使 则 即 记作 B=AX 则 即 于是有 当 A 变成 E 时, 为 的一个基, 且当 A 变成 E 时, B 变成 所以 所以 A ~ E ,故 是 的一个基 ,且 例9：设 是一组 n维向量，已知n维单位坐标向量 能由它们线性表示，证明 线性无关. 证 因为 能由 线性表示， 而任意n维向量都能由n维向量组 线性表示,所以向量组 能由 线性表示.因此它们等价.又因为 的秩为n,所以 的秩亦为n.故 线性无关. 利用上题我们还可证明下面结论. 例10:设 是一组n维 向量,证明它们线性无关的充分必 要条件是:任一n维向量都可由它 们线性表示. 解 必要性:由 线性无关,对于任意 n维向量 ,都有 线性相关, 所以任意向量 都可由向量组 线性表示; 充分性:由任意n维向量都可由 向量组 线性表 示,所以单位坐标向量组 可由 线性表示,由上题可知 线性无关. 例11:求齐次线性方程组 的基础解系. 解 对系数矩阵A施行初等行变换 取 为自由未知量 得齐次线性方程组的基础解系为 例12:设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且 求该方程组的通解. 解 由系数矩阵的秩为3,所以基础解系只含一个解向量,又因为两个非齐次线性方程组的解的差为对应齐次线性方程组的解；两个非齐次线性方程组解的