d常系数齐次线性微分方程第次课.pptx

二阶常系数齐次线性微分方程:①和它的导数只差常数因子,( r 为待定常数 ),代入①得所以令①的解为 ②称②为微分方程①的特征方程,其根称为特征根.1. 当时, ②有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为特征方程2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解( u (x) 待定)设另一特解代入方程得:是特征方程的重根因此原方程的通解为取 u = x , 则得特征方程3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为特 征 根通 解小结:特征方程:实根 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .推广:特征方程: 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含若特征方程含 k 重复根对应项例1.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例2. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3.的通解. 解: 特征方程特征根:因此原方程通解为例4.特征根 :解: 特征方程:原方程通解:(不难看出, 原方程有特解例5.解: 特征方程:特征根为则方程通解 :内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为时, 通解为(3) 当可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .思考与练习 求方程的通解 .通解为答案:通解为通解为第八节 备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为