九阶常系数非齐次线性微分方程.doc

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 教学目的：掌握自由项为和的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法 教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法 教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法 教学内容： 　　二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为： 　　根据二阶线性微分方程解的结构，要求解二阶常系数非齐次线性微分方程，只需先求得对应齐次线性微分方程的通解和该非齐次线性微分方程的一个特解即可。而齐次线性微分方程的通解已在上一目得到解决，因此本节将解决非齐次线性微分方程的特解问题。为此，针对自由项的特点，采用如下待定系数法： 根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，要求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，只需先求得非齐次方程的特解和对应齐次方程的通解，则就是非齐次方程的通解。而用待定系数法求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解分两种情形讨论： 一、 这里(是常数,Pm(x)是m次多项式. 由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数,而现在微分方程右端正好是这种类型的函数.因此,不妨假设方程的特解为 其中Q(x)是x的多项式,将y*代入方程并消去得 若(不是的特征方程的根,那么这时与应同次,于是可令 代入, 比较等式两端x同次幂的系数，就得到含的m+1个方程的联立方程组，从而可以定出这些系数,并求得特解 若(是特征方程的单根, 那么,而 . 此时，应是m次多项式,再注意到此时，为常数)为 的解,故可令 若(是特征方程的重根,那么且 这时应是m次多项式，再注意到此时和为常数)均为 的解.故可设 综上所述,有如下结论： 如果,则方程具有形如 的特解，其中 是与同次的特定多项式，而k按(不是特征方程的根,是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取0,1或2. 例1 的一个特解 解 本题而特征方程为 不是特征方程的根，设所求特解为代入方程 : 比较系数, 得所以 于是所求特解为 例2 求方程的通解 解 特征方程为其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得 解得 因此特解为 所求通解为 二 型 分析思路： 第一步 将 f (x) 转化为 第二步 求出如下两个方程的特解 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 解法： 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 令则 第二步 求如下两方程的特解 设是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 特解: 故 等式两边取共轭 为方程的特解 第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 第四步 分析的特点 所以本质上为实函数，所以均为 m 次实多项式 例3 求方程的一个特解 解 特征方程 不是特征方程的根,故设特解为 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 例4 第七节例1中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力的作用求物体的运动规律 解 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解 非齐次特解形式 代入可得 因此原方程之解为 自由振动 强迫振动 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时振幅将很大 当 p = k 时非齐次特解形式: 代入可得: 方程的解为 自由振动 强迫振动 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅可无限增大, 这时产生共振现象 . 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使p = k . 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 小结与思考： ①自由项为多项式与指数函数的乘积，即的情形，此时非齐次方程的特解，其中是与已知多项式同次的多项式(其系数可将特解代入非齐次方程，比较方程两端同类项的系数，联立求解而得到)，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根和是特征方程的重根分别取、和； ②自由项的情形，此时非齐次方程的特解，其中和是次的多项式(其系数可将特解代入非齐次方程，比较方程两端同类项的系数，联立求解而得到)，