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常系数非齐次线性微分方程 第八节 一、 二、 第七章 由非齐次线性微分方程的通解结构定理 (定理3)可知, 求非齐次微分方程: y ? ? p y ? ? q y ? f (x) (1) 的通解, 归结为求对应的齐次方程: y ? ? p y ? ? q y ? 0 (2) 的通解Y 和非齐次方程 (1) 的本身的一个特解 y*。 二者之和 Y ? y* 就是非齐次线性方程 (1) 之通解。 前面已经介绍了方程 (2) 的通解Y 的求法, 下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程 (1) 的一个特解 y* 的方法。 事实上, 求方程 (1) 的特解方法有许多, 也很繁琐, 这里我们只讨论 f (x) 以下两种情形： 这时, 方程 (1) 成为: y ? ? p y ? ? q y ? Pm(x)e λx 它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积, 即: y* ? x kQm(x)e λx (k ? 0, 1, 2) 一、f (x) ? Pm(x)eλx: 其中 Qm(x) 是一个与 Pm(x) 有相同次数的多项式,当 λ 不是特征根时, k ? 0; 当 λ 是特征根, 但不是重根时, k ? 1; 当 λ 是特征根, 且为重根时, k ? 2。 其中 λ为常数, Pm(x) 是一个m次多项式, 即: 例1: 求方程 y ? ? 6 y ? ? 9 y ? 5xe ? 3x 的通解。 解: 该方程对应的齐次方程是: y ? ? 6 y ? ? 9 y ? 0 它的特征方程为: r 2 ? 6r ? 9 ? 0 特征根是重根: r1 ? r2 ? ? 3 于是得到齐次方程 y ? ? 6 y ? ? 9 y ? 0 的通解为: Y ? e ? 3x(C1 ? C2 x) 原方程中 f (x) ? 5xe ? 3x, 其中Pm(x) ? 5x 是个一次多项式, λ ? ? 3 是特征方程的重根。 因此 k ? 2 。所以设原方程的特解为: y* ? x 2(Ax ? B)e ? 3x 求 y* 的导数, 得: ( y* )?? [x 2(Ax ? B)e ? 3x]?? e ? 3x[?3Ax 3 ?(3A ? 3B)x 2 ? 2Bx] ( y* )?? e ? 3x[9Ax 3 ?(? 18A ? 9B)x 2 ? (6A ? 12B)x ? 2B] 代入原方程, 化简得: (6Ax ? 2B)e ? 3x ? 5xe ? 3x 比较等式两边同类项的系数, 有: 解得 。因此, 原方程的特解为: 于是原方程的通解为: * f (x) ? a cosωx ? b sinωx , 其中 a、b、ω都是常数, 这时, 方程 (1) 成为: y ? ? p y ? ? q y ? a cosωx ? b sinωx 它的一个特解的形式为: y* ? x k(A cosωx ? B sinωx ) 其中A 和 B是待定常数; k 是一个整数。 当 ? ωi 不是特征根时, k ? 0; 当 ? ωi 是特征根时, k ? 1。 二、 注意: 当二阶线性微分方程的特征方程有复数根时, 决不会出现重根, 所以在这里与前一种情形不一样, k 不可能等于2 。 例2: 求方程 y ? ? 2 y ? ? 3 y ? 4sinx 的一个特解。 解: 因为 ω ? 1，而ω i 不是特征方程 r 2 ? 2r ? 3 ? 0 的根， 所以可设方程的特解为: y* ? A cos x ? B sin x 求导数, 得: ( y* )?? ? A sin x ? B cos x ( y* )?? ? A cos x ? B sin x 代入原方程, 得: (? 4A ? 2B) cos x ? (? 2A ? 4B) sin x ? 4sinx