【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】14.导数与积分 Word版含答案.doc

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】14导数 1．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 （　　） A．1 B．8 C． D． 【答案】B ，做出轴截面，设正方体的边长为，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方体的体积为。选B. 2．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数，． (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【解析】（I），. 由，得，或. ①当，即时，在上，，单调递减； ②当，即时，在上，，单调递增，在上，，单调递减。 综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为，的减区间为。 （II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值； （2）当时， 若，即时，在上单调递减，不存在最小值； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为，且当时，，所以时，。 又因为，所以当，即时，有最小值；，即时， 没有最小值。 综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值。 3．（2013届北京丰台区一模理科）已知函数，. (Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值； (Ⅱ)当，且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。 【答案】(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………1分 则， ……………………………3分 h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0， 即,解得或……………………6分 (Ⅱ)记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a), ab=8，所以，(x≠-a), , 令，得，或, …………………8分 因为，所以， 故当，或时，，当时，， 函数(x)的单调递增区间为， 单调递减区间为, ………………10分 ,,， 当，即时, (x)在[-2,-1]单调递增, (x)在该区间的最小值为， ………………11分 当时,即, (x)在[-2,单调递减, 在单调递增， (x)在该区间的最小值为，………………………………………………12分 ③当时,即时, (x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为，………13分 综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. （不综述者不扣分） 4．（2013届北京海淀一模理科）已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值. 解：（I）因为所以………………2分 因为函数在处取得极值 ………………3分 当时，，， 随的变化情况如下表： 00 极大值 极小值………………5分 所以的单调递增区间为, 单调递减区间为………………6分 (II)因为 令,………………7分 因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得………………9分 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得………………11分 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以， 解得，与矛盾………………12分 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. ………………13分 5．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数. (Ⅰ) 讨论函数的单调性； （Ⅱ）当时，求函数在区间的最小值. 解：函数的定义域为， ………1分 (Ⅰ)， ………4分 （1）当时，，所以在定义域为上单调递增； …5分 （2）当时，令，得（舍去），， 当变化时，，的变化情况如下： 此时，在区间单调递减， 在区间上单调递增； ………7分 （3）当时，令，得，（舍去）， 当变化时，，的变化情况如下： 此时，在区间单调递减， 在区间上单调递增. ………9分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增. ………10分 （1）当，即时，在区间单调递减， 所以，； ………11分 （2）当，即时，在区间单调递减， 在区间单调递增，所以，………12分 （3）当，即时，在区间单调递增， 所以. ………13分 6．（2013届北京西城区一模理科）已知函数，，其中． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单