4_1方阵特征值和特征向量.ppt

第4章 矩阵的对角化与二次型的化简;;;; 定义1 设A是n阶方阵，如果存在数l和n维非零列向量X满足 AX?lX， 则称l为A的特征值，称向量X为A的对应于特征值l的特征向量.; 定义1 设A是n阶方阵，如果存在数l和n维非零列向量X满足 AX?lX， 则称l为A的特征值，称向量X为A的对应于特征值l的特征向量.; 方程 |lE-A|?0 的每个根都是矩阵A的特征值. 方程(lE-A)X?o的每个非零解都是l对应的特征向量.; 例1．求矩阵A=;例2. 求矩阵A=;??? 对于特征值l3=4 ，解 线性方程组(4E-A)X?o，; 解：矩阵的特征方程为; 解：矩阵的特征方程为;例4．试证：n阶O矩阵的特征值为零. 证：由 |lE-O|? |lE|=ln?0，必有l=0 .; 性质1 设X1, X2,…, Xm都是矩阵A的对应于特征值l的特征向量, 如果它们的线性组合 k1X1+k2X2+…+ kmXm≠o, 则k1X1+k2X2+…+ kmXm也是矩阵A的对应于特征值l的特征向量．; 证明: 由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|≠0，则A的 任一个特征值都不为零．; 性质4 设 l 是方阵 A 的一个特征值，X为对应的特征向量， m 是一个正整数，则 lm 是 Am 的一个特征值，X为对应的特征 向量．;　; 证明: 因为A2=E ，所以A2-E=O, 设A的特征值为l ，则由性质 4 之推论可得l 2- 1 =0，解得，l 1＝1， l 2＝-1. 证毕.; 性质5 n阶矩阵A互不相同的特征值l1，l2，??? ，lm，对应的特征 向量X1，X2，??? ，Xm线性无关．（证明略）;① 已知三阶方阵A的三个特征值为１，-２，３．则 |A|＝（ ）， A-１的特征值为（ ）， AT的特征值为（ ）， A2+2A+E的特征值为（ ）．;⑥试确定a,b的值，使得;;-5;-5;;;(5) 对于矩阵 A= 及特征值l?-2,解齐次线性方; 因为特征矩阵