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专题20四边形中的折叠问题（解析版）

类型一平行四边形的折叠问题

1．（2021•饶平县校级模拟）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，∠DEF＝60°，EF＝2，将

四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）

A．6B．12C．62D．2（1+2）

思路引领：根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG＝∠EGF，根据折叠的性

质得到∠GEF＝∠DEF＝60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEG＝∠EGF，

∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，

∴∠GEF＝∠DEF＝60°，

∴∠AEG＝60°，

∴∠EGF＝60°，

∴△EGF是等边三角形，

∴EG＝FG＝EF＝2，

∴△GEF的周长＝2×3＝6，

故选：A．

总结提升：本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌

握翻折变换的性质是解决问题的关键．

2．（2022秋•市南区校级期末）如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝

60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为．

思路引领：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F＝EB，

CF＝CE，设AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，

在▱ABCD中，

∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，

由于▱ABCD沿EF对折，

∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，

D′C＝AD＝BC，

∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，

∴∠D′CF＝∠ECB，

在△D′CF与△ECB中，

∠′=∠

′=，

∠′=∠

∴△D′CF≌△ECB（ASA），

∴D′F＝EB，CF＝CE，

∵DF＝D′F，

∴DF＝EB，AE＝CF，

设AE＝x，

则EB＝6﹣x，CF＝x，

∵BC＝AD＝4，∠CBG＝60°，

1

∴BG=BC＝2，

2

由勾股定理可知：CG＝23，

∴EG＝EB+BG＝6﹣x+2＝8﹣x，

在△CEG中，

222

由勾股定理可知：（8﹣x）+（23）＝x，

19

解得：x＝AE=，

4

19

故答案为：．

4

总结提升：本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理

列出方程，本题属于中等题型．

3．（2012•威海）（1）如①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于

点E，F．

求证：AE＝CF．

（2）如②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点

B处，设FB交CD于点G，AB分别交CD，DE于点H，I．

1111

求证：EI＝FG．

思路引领：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA＝OC，又由平行线的性质，可得∠1

＝∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE＝CF．

（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，