导数构造新函数——同构法.docx

课题 考点分析 授课内容 同构新天地，放缩大舞台 在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函 数模型的方法，我们就称为同构法． 在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称 为同构法．如，若 F ?x?? 0 能等价变形为 f ?g?x??? f ?h?x??，然后利用 f ?x?的单调性，(如递增，再转化为 g?x?? h?x?)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．当然，用 同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所 谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！ 一、地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰ft移. （1） f ?x 1 x ?? f ?x 2 ??x ? ? ?? k?x 1 ? x ?? f 2 ?x ?? f 1 ?x ? 2  ? kx 1  kx 2 ? f ?x 1 ?? kx 1 ? f ?x 2 ?? kx 2 1 ? y ? f 2 x ? kx为增函数。 f ?x ?? f ?x ? k ? ? ? ? ? ? k ?x x ? ? ? k ? ? k （2） 1 x ? x 1 2 2 ? x ? x x x 1 2 1 2 ? f x ? f x ? 1 2 1 2 ? f x x 1 2 x ? ? f x ? 1 x 2 x 1 2 ? y ? f ?x?? k 为减函数。 x 含有地位同等的两个变量x , x 1 2 ，或 p, q 等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形， 如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）. 二、指对跨阶想同构，同左同右取对数. 同构基本模式： ?同右：ea ln ea ? b ln b ? f ?x?? x ln x 积型： aea ? ? b ln b ? ?同左：aea ? ?ln b ?eln b ? f ?x ?? xex ??取对：a ? ln a ? ln b ? ln?ln b?? f ?x?? x ? ln x ? m m m 例： 2x3 ln x ? me x ? x2 ln x2 ? e x 。 x 说明：上述三个方法“取对”是最快捷和直观的 欣 赏 您 的 孩 子，其 实 天 才 就 在 你 身 边！ ? ea b ? ? x ?同右： ? ? f x ? ? ln ea ln b ln x ea 商型： ? ln b ? ea ??同左： ? ? eln b ? f ?x?? ex xa b ? x a ln b ? ? ? ? ?取对：a ? ln a ? ln b ? ln ? ? ln b ? f x ? x ? ln x ??同右：ea ? ln ea ? b ? ln b ? f ?x?? ex ? ln x 和差型： ea ? a ? ln b ? b ? ? ??同左：ea ? a ? eln b ? ln b ? f ?x? ? ex ? x 例： eax ax ? ln?x ?1?? x ?1 ? eax ? ax ? eln ?x?1? ? ln?x ?1?? ax ? ln?x ?1? 三、无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量. aeax ln x ?同??x axeax ? x ln x ex ? a ln?ax ? a?? a ? 1 ex ? ln a?x ?1??1 ? ex?ln a ? ln a ? ln?x ?1??1 a ??? x ?ex?ln a ? x ? ln a ? ln?x ?1?? x ?1 ? eln ?x?1? ? ln?x ?1?? x ? ln a ? ln?x ?1? ax log a x ? ex ln a ? ln x ? ?x ln a?ex ln a ? x ln x ln a  ln x 注意：因为ax、log a x 互为反函数，所以还可以这样转化ax ? log a x ? ax ? x ? ln a ? 。 x 对于某些不等式，两边互为反函数比较隐蔽，需要出众的观察和做题量。 1 ? ? 1 1 x ?1 1 1 如： e