导数中的同构问题（原卷版）.pdf
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专题11导数中的同构问题
【考点预测】
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双变量问题之转化同构
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若题干给出对任意的在区间上，关于和的某不等式恒成立，且该不等式对和具有轮换对称性，求参数取值范围.这类问题一般根据不等式的等价变形，将原不等式化为这种同构形式，转化为函数的单调性来进一步研究参数的取值范围.
典型例题
1.（★★★★）
已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意，，有.
2.（★★★）
设函数.
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
强化训练
1.（★★★★）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，对任意的且，都有，
求实数的取值范围.
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重难点08导数中的同构问题【八大题型】
1f(x)x2
x
2f(x)e3
3f(x)sinxcosx3
44
55
65
76
87
1
.
1
1
(1)f(x)x
n
nf(x)+xf(x)F(x)=xf(x).
xf(x)-nf(x).
x
(2)f(x)e.
(3)f(x)sinxcosx.
2
(1)f(a)=0f(b)=0a,bf(x)=0.
(2)
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2
1
()
..
(1)
.
(2)
1f(x)x
()(2)=00′
12024
()−()0()0
A(−∞,−2)∪(2,+∞)B(−2,2)
C(−∞,−2)∪(0,2)D(−2,0)∪(2,+∞)
1-12024fx
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26第讲导数同构
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函数表达式图像函数表达式图像
y=lnx-x
y=lnx+x函数极值点
1,-1
lnx
y=xlnxy=
x
函数极值点函数极值点
11
1
,-e,
eee
xx
y=lnxy=e+x
函数极值点过定点
e,e0,1
x
xy=xe
y=e-x
函数极值点函数极值点
1
0,1-1,-e
x
ex
y=y=x
xe
函数极值点函数极值点
第195页共1043页
1
1,e1,e
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典型例题
1.（★★★★）
已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意，，有.
【解析】（1）由题意，的定义域为，
当时，，由得：或；由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，且仅当时，，故在上单调递增，
当时，，由得：或；由得：，
故在上单调递增，在上单调递减，上单调递增.
（2）不妨设，则，
所以，
故只需证
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同构新天地，放缩大舞台
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在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．
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在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如，若能等价变形为，然后利用的单调性，(如递增，再转化为)，这种方法我们就可以称为同构不等式
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为同构法．如，若 F ?x?? 0 能等价变形为 f ?g?x??? f ?h?x??，然后利用 f ?x?的单调性，(如递增，再转化为
g?x?? h?x
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2025高考数学二轮专题复习专题一函数与导数微重点3同构函数问题 .pptx
同构函数问题微重点3
同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大.考情分析
专题强化练考点一考点二地位同等同构型指对同构问题内容索引
地位同等同构型考点一
?例1√
因为e2a-eb4a2-b2+1，所以e2a-4a2eb-b2+1，又eb-b2+1eb-b2，所以e2a-4a2eb-b2，令函数f(x)=ex-x2，求导得f(x)=ex-2x，令g(x)=ex-2x，求导得g(x)=ex-2，当xln2时，g(x)
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2025年新高考重难点08 导数中的同构问题【八大题型】（解析版）.pdf
重难点08导数中的同构问题【八大题型】
1f(x)x2
x
2f(x)e5
3f(x)sinxcosx7
49
513
615
719
825
1
.
1
1
(1)f(x)x
n
nf(x)+xf(x)F(x)=xf(x).
xf(x)-nf(x).
x
(2)f(x)e.
(3)f(x)sinxcosx.
2
(1)f(a)=0f(b)=0a,bf(x)=0.
(2)
.
2
1
()
..
(1)
.
(2)
1f(x)x
()(2)=00′
12024
()−()0()0
A(−∞,−2)∪(2,+∞)B(−2,2)
C(−∞,−2)∪(0,2)D(−2,0)∪(2,+∞)
()
()
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24 第三章 重点培优课3 导数中的函数构造及指、对同构问题.docx
导数中的函数构造及指、对同构问题
题型一导数型构造函数
利用f(x)与x构造
[典例1](1)设f(x)是定义域为R的奇函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足2xf(x)＋x2f′(x)0，f(2)＝34，则关于x的不等式x2f(x
(1)A(2)(0，2)[(1)令g(x)＝fx
则g′(x)＝xf
所以当x0时，g′(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)上单
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[典例1](1)设f(x)是定义域为R的奇函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()
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B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足2xf(x)＋x2f′(x)0，f(2)＝34，则关于x的不等式x2f(x
[听课记录]
(1)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxx
(2)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数
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导数专题：导数与曲线切线问题（6大题型）（原卷版）.docx
导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。
三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线
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专题03 导数的综合问题（原卷版）.docx
专题03导数的综合问题
【题型归纳目录】
题型1：构造函数解不等式问题
题型2：证明不等式
题型3：恒成立问题
题型4：能成立问题
题型5：零点问题
题型6：方程的根问题
题型7：双变量问题问题
题型8：实际应用问题
题型9：极值点偏移问题
【考点预测】
1、恒成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下
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专题02 函数与导数新定义问题（原卷版）.doc
专题02函数与导数新定义问题
专题
专题透析
函数中的新定义型问题是高考中常见的问题，它综合考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生探索、创新的能力，这类题目起点不高，难度也不大，只要学生认真理解新定义，利用所学的知识是可以解决的.
高考命题方向：
1.函数是高中数学的主线，有着十分重要的地位，知识的综合性强，解决时常用到数形结合、分类讨论等数学思想.
2.函数中的新定义问题重点围绕函数的定义及单调性、奇偶性、对称性等性质进行考查.
题型一：曲率与曲率半径问题
【例1】用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲
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【高考数学】专题11--函数中的同构问题（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）（原卷版）.pdf
【高考数学】专题11--函数中的同构问题（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）（原卷版
专题１1函数中的同构问题
一、考情分析
近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中,高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不
同的式子通变形,转化为形式结构相同或者相近的式子，通整体思想或换元等将问题转化的方法,
这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利
用函数单调性定义确定函数单调性,利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果．
二、解题秘籍
(一)同构函数揭秘
同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题,