线性代数总复习4课件.ppt

考试题：1. 考题2： 解析：这种问题的思路都是先利用初等行变换化简成行阶梯矩阵，最好是行最简矩阵。找到自由未知量，分别取(1,0,..0),(0,1,0...0),...(0,...0,1) 进而算出其余未知量，得到对应其次线性方程组的基础解系。 自由未知量全部取(0,...0),得到特解。 生成空间 设有向量组 A: a1,…, am, 记 称 L(A) 为由向量组 A 生成的向量空间, 简称生成空间. 向量组等价 等价的向量组有相同的秩 一、内 容 提 要 向量在基下的坐标 设 V 为一个 r 维向量空间, 则 V 中任意 r 个线性无 关向量 a1,…, ar 为 V 的一个基, 且有 V 中任一向量 a 可唯一地表示为 称 (k1,…, kr ) 为 a 在基 a1,…, ar 下的坐标. 一、内 容 提 要 过渡矩阵 一、内 容 提 要 设 a1,…, ar 及 b1,…, br 是向量空间 V 的两个基, 称此关系式为基变换公式. 称矩阵 P 为从基 a1,…, ar 到基 b1,…, br 的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆矩阵. 则 存在 r 阶矩阵 P, 使 任给一个向量c, 可以推出 解析： 向量的内积 一、内 容 提 要 设有 n 维向量 a = (a1, …, an), b = (b1, …, bn), 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积. 记 向量的范数 称 为向量 a 的范数(或长度), 记为 || a ||. 若 [a, b] = 0, 则称向量 a 与 b 正交. 向量的夹角 非零向量 a 与 b 的夹角为 规范正交基 一、内 容 提 要 r 维向量空间 V 中, 任一正交单位向量组 e1,…, er , 称为 V 的一个规范正交基. 正交矩阵 如果 UTU = E(U -1 = UT ), 则称方阵 U 为正交矩阵. U 为 n 阶正交阵的充分必要条件是 U的列(行)向量组 为 Rn 的一个规范正交基. 正交变换 若 U 为正交阵, 则称线性变换 y = Ux 为正交变换. 正交变换保持向量的内积不变. 方阵的特征值 一、内 容 提 要 称 n 次多项式 |lE - A| 为 A 的特征多项式. 称 n 次方程 |lE - A|=0 的根为方阵 A 的特征值. 设 l1,…, ln 为 A 的所有特征值, 则有 特征值的性质 (2) (1) A 的迹, 记为tr(A). 设 f 是一个多项式, 若 l 为方阵 A 的一个特征值, 则 f (l) 为 f (A) 的一个特征值. 方阵的特征向量 一、内 容 提 要 设 l 为方阵 A 的特征值, 称方程组 (lE - A) x = 0 的任一非零解为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量. 对应于 n 阶矩阵 A 的特征值 l 有 n-R(lE-A) 个线性 无关的特征向量, 定理 设 l1,…, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值, A1,…, Am 分别为属于 l1,…,lm 的线性无关特征向量组, 则由 A1,…, Am 的并集构成的向量组线性无关. 称属于 l 的线性无关特征向量组. 定理 设 l1,…, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值, p1, …, pm 为对应的特征向量, 则 p1,…, pm 线性无关. 相似矩阵 一、内 容 提 要 设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使 那么, 称 B 是 A 的相似矩阵. 称 P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性. 定理 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值). 推论 若对角阵 L 是 A 的相似矩阵, 则 L 以 A 的特征值 为对角元素. 定理 一、内 容 提 要 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 定理 设 l 是 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值, 则 定理 如果 n 阶方阵 A 的每个特征值对应的特 征向量线性无关的个数等于该特征值的重数，则 A 与 对角阵相似. 设 l 为 n 阶方阵 A 的 r 重特征值，则对 应于 l 的线性无关的特征向量最多只有 r 个 . (1) 求出 n 阶方阵 A 的所有特征值 li . 一、内 容 提