线性代数课本课件 线性代数总复习.ppt

例1 解 3、最大无关组及向量组的秩 设有向量组 ， 满足下面两个条件： 如果能在 中选出 个向量 （1）向量组 线性无关； 线性表示。 （2）向量组 中的每一个向量都能由向量组 则称向量组 为向量组 的最大无关组。 最大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩。 向量组的秩的求法 向量组 的秩 的秩 矩阵 最大无关组的求法 且 列向量组的一个最大无关组为 因此 四、线性方程组的解 定理 元线性方程组 1) 有唯一解 2) 无解 3) 无穷多解 定理 元齐次线性方程组 有非零解 定理 设 矩阵 的秩 ， 则齐次线性 的解集 的秩为 线性方程组 其中 为任意实数。 非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组 的一个特解为 齐次线性方程组 的基础解系为 则非齐次线性方程组 的解解为 例 求解非齐次方程组 解： 令 则 为任意常数） 法1： 上页 返回 下页 线性代数总复习 一、行列式 二、矩阵 三、向量之间的关系 四、线性方程组的解 五、特征值与特征向量 一、行列式 1、二阶三阶行列式的计算 2、n阶行列式的计算 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例 计算行列式 解 (2) 利用行列式展开计算 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 例 二、矩阵 1、矩阵的逆的求法 （1）公式法（伴随法） （2）初等变换法 行的初等变换 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 （公式法） 故 （初等变换法） 即 初等行变换 2、矩阵的秩 矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例 解 三、向量之间的关系 1、线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 定义 存在矩阵 ， 使得 矩阵方程 有解 判定 线性表示 能由 线性表示 存在矩阵 ， 使得 矩阵方程 有解 例 设 证明向量 能由向量组 线性表示，并 求表示式。 解 只需证矩阵 与矩 阵 有相同的秩。 下面把矩阵 化为行最简形： 法一 行的初等变换 向量 可由向量组 线性表示。 由最简形知，方程组 的通解为 从而 其中 为任意常数。 法二 设 即 也即 其中 为任意常数。 解得其通解为 故向量 可由向量组 线性表示，且 其中 为任意常数。 定义 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 2、线性相关性 定理 判定