线性代数课本课件 6.1.ppt

本章的主要内容 §6.1 矩阵的特征值与特征向量 §6.2 相似矩阵与矩阵对角化 §6.3 实对称矩阵的对角化 * * 第六章 矩阵特征值问题 本章先引出矩阵特征值与特征向量的概念, 利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法, 并给出矩阵对角化的条件, 介绍实对称矩阵对角化的方法. 1. 矩阵的特征值与特征向量的定义 3. 矩阵的特征值与特征向量的性质 §6.1 矩阵的特征值与特征向量 2. 矩阵的特征值与特征向量的计算 1、基本概念 定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． 注 特征值和特征向量只针对方阵而言． 例 则 l = 1 为矩阵 的特征值； 为对应于l = 1 的特征向量. 2、特征值与特征向量的计算 已知 所以齐次线性方程组有非零解. 特征方程 特征多项式 特征方程 | A?lI | = 0 特征多项式 f(l)=| A?lI | ( l 为未知数的一元 n 次多项式) 求特征值、特征向量的方法: 求出?即为特征值; 把得到的特征值?代入上式, 求齐次线性方程组 的非零解 x, 即为所求特征向量. 特征值就是特征方程的根． 注 在复数范围内 n 阶矩阵有 n 个特征值(重根按重数计算) 称集合 {?1 , … , ?n} 为矩阵A的谱(spectrum). 将{|?1| , |?1| ,… , |?n|}的最大值称为A的谱半径,记作ρ(A), 即 例 解 例 解 解 第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值. 例 求矩阵 的特征值和特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值? 代入齐次方程组 求非零解. ,齐次线性方程组为 系数矩阵 解 例 求矩阵 的特征值和特征向量. 特征值为 得基础解系 是对应于 系数矩阵 解 例 求矩阵 的特征值和特征向量. 特征值为 得基础解系 是对应于 齐次线性方程组为