线性代数课本课件 6.2.ppt

* * §6.2 矩阵对角化 相似矩阵和矩阵的对角化问题 定义 对n阶矩阵A,B,若存在n阶满秩矩阵P,使成立 则称A与B相似或称A相似于B. 对 A 进行运算 P ?1AP 称为对 A 进行相似变换; 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 定理 若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同，从而 A 和 B 的特征值也相同． 证明 根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P ?1AP = B ，故 | B ?lI | = | P ?1AP ? P ?1(lI) P | = | P ?1(A?lI ) P | = | P ?1| |A?lI | |P | = |A?lI| ． 注 矩阵相似是一种等价关系. 推论 设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, …, ln )，则l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值． 故 l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值． 证明 对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P,使得 为对角阵,就称为把方阵A对角化. 问题1：何为矩阵的对角化？ 可逆矩阵 P ，满足 P ?1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) 其中 ? 方阵 P 的列向量组线性无关 A的特征值 对应特征向量 问题2：与对角矩阵相似的条件是什么？ 可逆矩阵 P ，满足 P ?1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) ? 方阵 P 的列向量组线性无关 问题2：与对角矩阵相似的条件是什么？ P.165定理 n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即A可对角化）的充要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量. P.168推论 如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 与对角阵相似，即A必可对角化. 注 当A的特征方程有重根时，就不一定能对角化 矩阵对角化的主要工作在于求出其特征值与特征向量. 例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 得 齐次线性方程组为 例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 得 齐次线性方程组为 得基础解系 例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 得 齐次线性方程组为 例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 三特征向量 即A有3个线性无关的特征向量, 所以A 可以对角化. 线性无关 例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 此时齐次方程组为 得基础解系 故A不能化为对角矩阵.