反函数与复合函数的导数,隐函数的导数9.ppt

第二次作业 P72 1、（1）（3）（5）（7） 2、（3）（9） P79 1、（2）（3） 课后练习 P72-73 习题2-3 1-6 P79 习题2-4 1，2 上页 下页 铃 结束 返回 首页 第二章 一元函数微分学 第二节 反函数与复合函数的导数 一、反函数的求导法则 三、隐函数的导数 主要内容： 二、复合函数的求导法则 隐函数的导数 一、反函数的导数 设函数 在区间 内单调、连续, 则其反函 内单调, 连续: 若设 在区间 内可导, 且 今来讨论 的可导性. 给 以增量 由 的 数 在对应的区间 单调性, 知 变形得到 又由函数的连续性, 当 时必有 从而有 由此说明了函数 在 处可导, 且有 简单地说, 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数. ? 例1 求反正弦函数 解 是 的反函数. 注意到在区间 内， 从而有 所以. 在区间 内点点可导, 且有 而 在区间 内单调、可导, 并且 的导数. 例2 求反正切函数 解 函数 是 在 区间内的反函数，在区间内单调、可导, 且 所以 在 内每一点可导, 且有: 有 的导数. 注意到： 从而有 同理可得其它几个反三角函数的导数公式: 例3 求对数函数 解 是 的反 注意到, 特别地, 当 时, 有 函数, 且直接函数在定义域内单调、可导, 且 的导数. 从而有 二、复合函数的导数 在众多的函数中, 我们遇见的更多的是复合函数. 例 如函数 , 这是一个极为简单的函数, 但我们 要求它的导数就没那么简单. 事实上, 由导数的乘积公 式, 得 对一个如此简单的函数, 求其导数都那么困难, 这就 提示我们有必要讨论复合函数的求导法则. 利用相应的 法则来简化某些复杂函数的导数计算. 复合函数求导法则 如果函数 在点 可导, 证 设自变量 在 处有增量 , 则函数 而函数 在 处可导, 则复合函数 在 处可导, 并且有关系 有增量 相应地, 函数 有增量 （1） 当 时, 有 由函数 的可导性, 得函数在 是连续的, 因 又 此当 时, 有 由此得 （2） 由此得到: 复合函数的求导公式常常表示为 （3） 公式（3）称为复合函数的求导法则 此公式可以作进一步的推广: 若 均为可导函数, 则相应的复合函数 的导数为 例4 求函数 解