导数四则运算反函数与复合求导规则.pptx

二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则§3.21-§3.2.4函数的求导法则上页下页铃结束返回首页四、基本求导法则与导数公式

一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u?u(x)及v?v(x)在点x具有导数?那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数?并且下页[u(x)?v(x)]?=u?(x)?v?(x)?[u(x)?v(x)]?=u?(x)?v(x)+u(x)?v?(x)?

求导法则的推广(u?v?w)?=u??v??w??(uvw)?=u?vw+uv?w+uvw??特殊情况(Cu)?=Cu??求导法则?下页例1

求导法则?例2解

求导法则?例4解

例3.解:求导法则?

求导法则?用类似方法?还可求得?(tanx)?=sec2x?(secx)?=secxtanx?例5y?cotx?求y??解例6y?cscx?求y??解首页

解解练习

二、反函数的求导法则定理2如果函数x?f(y)在某区间Iy内单调、可导且f?(y)?0?那么它的反函数y?f?1(x)在对应区间Ix?f(Iy)内也可导?并且简要证明由于x?f(y)可导(从而连续)?所以x?f(y)的反函数y?f?1(x)连续?当?x?0时??y?0?所以下页即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例2求(arctanx)?及(arccotx)??解因为y=arctanx是x=tany的反函数?所以例1求(arcsinx)?及(arccosx)??解因为y=arcsinx是x=siny的反函数?所以反函数的求导法则:首页

反函数的求导法则:例3解

另一方面，于是从而可得公式三、复合函数的求导法则

三、复合函数的求导法则定理3如果u?g(x)在点x可导?函数y?f(u)在点u?g(x)可导?则复合函数y?f[g(x)]在点x可导?且其导数为简要证明则Du?0?此时有假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数?下页

解复合函数的求导法则:212sinxxy+=,求例2解例1=-3x2ey,求dxdy.y=u函数212sinxxy+=是由sin,212xxu+=复合而成的,下页因此函数可看作是由y?eu?u?-3x2复合而成的?

复合函数的求导法则:下页解例3,求y?.例4解

复合函数的求导法则:解例5复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形?例如?设y?f(u)?u??(v)?v??(x)?则

复合函数的求导法则:复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形?例如?设y?f(u)?u??(v)?v??(x)?则例6解

例7解解例8

例9解

四、基本求导法则与导数公式基本初等函数的导数公式(1)(C)??0?(2)(xm)??mxm?1?(3)(sinx)??cosx?(4)(cosx)???sinx?(5)(tanx)??sec2x?(6)(cotx)???csc2x?(7)(secx)??secx?tanx?(8)(cscx)???cscx?cotx?(9)(ax)??axlna?(10)(ex)??ex?下页

函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则反函数求导法四、基本求导法则与导数公式(1)(u?v)?=u??v??(2)(Cu)?=Cu?(C是常数)?(3)(uv)?=u?v+uv??下页