导数四则运算.ppt

故 例14 又 故 解 例15 类似可得 公式 小结 ： 练习 P62 1. 3.(1—10) 5. 6作业 P62 4 平凉医学高等专科学校 王新武 Wang.xw@163.com TEL* 平凉医学高等专科学校 王新武 Wang.xw@163.com TEL三、复合函数的导数 1. 导数的四则运算法则 若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则 复习： 2. 公式 小结 ： 复习： 1). 求函数y=(3x-2)2的导数 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢? 想一想 ??? 引入： 二、新课——复合函数的导数： 1.复合函数的概念: 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x)) 函 数 内圈函数 外圈函数 复合函数 定义域 值 域 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) x∈A U∈D U∈D y∈B x∈A y∈B 指出下列函数的复合关系 解: 2.复合函数的导数 且 或 定理 设 u = ? (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应 点 u ( u = ? (x) ) 处也可导, 复合函数 y = f (? (x)) 在 U(x) 内有定义, 则 y = f (? (x)) 在点 x 处可导, ? y = f (u) 在相应点 u 处可导, ? ( 当 ?u? 0, ? ? 0 ) 以 ?x 除上式, 得 证 给 x 以增量 ?x, 相应地 u = ? (x) 有增量 ?u, 对于?u, y = f (u) 有增量 ?y. 对上式两边取 ?x? 0 的极限, 由 u = ? (x) 在点 x 处可导, 得 即 或 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积. 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为 2)法则可以推广到两个以上的中间变量. 3)在书写时不要把 写成 ,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量 的求导. 或 令y=u2,u=3x-2, 则 从而 例如, 则在各函数可导且 f [? (h(x))] 在 U(x) 有定义时, 或 该定理可推广到任意有限次复合的情形. 有 ? 解 ? 一般按 “由外向里层层求导” 法求导 例18 解 例19 证 综上所述, 例20 * * 第二节 求导法则 1.导数定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即: 复习：1.导数的定义 存在，则称 f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别 1） 若 注： 若记x=x0+?x, 当?x?0时, x? x0, 特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有 2）导数定义还有其他等价形式, 3）由于 称为 f (x)在x0的右导数. 称为 f (x)在x0的左导数. 定理： f (x) 在x0可导? f (x)在x0的左, 右导数存在且相等. 4）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时， 对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一 个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。 5）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 2.导数与导函数的区别与联系 区别： 是一常数。 是一函数。 联系： 即 函数 在点 处的导数 就是导函数