复合函数与反函数 初等函数.ppt

第3节 复合函数与反函数 初等函数 一、复合函数 一、复合函数 映射—函数 复合映射—复合函数 三、初等函数 四、小结与习题 * * 二、反函数 三、初等函数 四、小结与习题 定义：设有两个函数 1.复合函数定义 如果 的值域 与 的定义域 满足 则称由函数 与函数 构成一个 复合函数， 记作： 即 也可直接写成 例1.设 则它们的复合函数为： 其定义域 2.复合函数的复合条件 第一，只有第一个函数的定义域与第二个函数 的值域的交集不等于空集时，两个函数的复合才 有意义； 第二，函数的复合一般与复合的次序有关，即 与 不是同一个函数； 第三，函数的复合可由多个函数构成。 例2．设 由于 故 所以复合函数 的定义域是一个空集， 函数 无意义，即此时的函数不能复合。 上例中，如果考虑复合函数 时，应为 此时 是有意义的。 例3.设 则这三个函数的复合为 例4.求由下列函数复合而成的复合函数 （1） （2） 例5.设 如下，求 （1） （2） 3.复合函数的分解 分解原则——分解以后的各函数为基本初等 函数或简单函数（简单函数是指由基本初等函 数通过四则运算而得到的一个数学关系） 例6.指出下列函数的复合过程： （1） （2） （3） （4） （5） D W D W 二. 反函数 1. 反函数的概念 若函数 为单射, 则存在逆映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射 为 f 的反函数 . 2.反函数的性质 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 指数函数 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数 且也单调递增 (减) . 3.反函数求法 例1.求下列函数的反函数 （1） （2） 例2.求函数 的反函数. 解 求分段函数的反函数，只要分别求出各区 间段上函数的值域及其反函数即可 由 可知其值域为 反函数为 而 的值域为 反函数为 又 的值域为 反函数为 故所求反函数为 注意：只有一一对应的函数才有反函数，例如 在其定义域内就没有反函数，只有在 情况下，才有反函数。 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数、反三角函数统称为基本初等函数 1.基本初等函数的图像性质 (1)常数函数—— 其图像是过点（0，c）水平直线。 (2)幂函数—— 两种情况，讨论幂函数的图像、 性质（单调性、奇偶性） (3)指数函数—— 两种情况，讨论指数函数的图像 （位置： 、性质（单调性） (4)对数函数—— 两种情况，讨论对数函数的图像 （位置： 、性质（单调性） 特别常用对数、自然对数以及对数的计算 (5)三角函数——有6种它们是 正弦函数—— 余弦函数—— 正切函数—— 余切函数—— 正割函数—— 余割函数—— 三角函数的图像与性质主要讨论：正弦函数、 余弦函数、正切函数和余切函数的单调区间、奇 偶性、有界性和周期 (6)反三角函数 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 2.初等函数——由基本初等函数经过有限次四 则运算及有限次复合所构成的能够用一个数学关 系式表示的函数，称为初等函数。 *