2015二次函数复习专题讲义.doc

二次函数 【知识清单】 1、一般的，形如的函数叫二次函数。例如等都是二次函数。注意：系数不能为零，可以为零。 2、二次函数的三种解析式（表达式） ①一般式： ②顶点式：，顶点坐标为 ③交点式： 3、二次函数的图像位置与系数之间的关系 ①：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当时，开口方向向上；当时，开口方向向下。决定开口大小，当越大，则抛物线的开口越小；当越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。 ②：决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴交点在轴正半轴（即轴上方）；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴（即轴下方）；当时，抛物线过原点。反之，也成立。 ③ ：共同决定抛物线对称轴的位置。当时，对称轴在轴右边；当时，对称轴在轴左边；当（即当时）对称轴为轴。反之，也成立。 ④特别：当时，有；当，有。反之也成立。 4、二次函数的图像可由抛物线向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当时，抛物线向右平移个单位；当时，抛物线向左平移个单位，得到；当时，抛物线再向上平移个单位，当时，抛物线再向下平移个单位，而得到的图像。 5、抛物线与一元二次方程的关系： ①若抛物线与轴有两个交点，则一元二次方程有两个不相等的实根。 ②若抛物线与轴有一个交点，则一元二次方程有两个相等的实根（即一根）。 ③若抛物线与轴无交点，则一元二次方程没有实根。 6、二次函数的图像与性质 关系式 图像形状 抛物线 顶点坐标 对称轴 增 减 性 在图像对称轴左侧，即或，随的增大而减小；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而增大； 在图像对称轴左侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而减小； 最大值最小值 当时， 当时， 当时， 当时， 【考点解析】 考点一：二次函数的概念 【例1】下列函数中是二次函数的是（ ） 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，中符合的形式，所以是二次函数，分别是一次函数和反比例函数，中右边不是整式，显然不是二次函数。 【答案】 【例2】已知函数是二次函数，则。 【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且的最高次数为”。故有，解得，综上所述，取。 【答案】 【针对训练】 若函数是二次函数，则该函数的表达式为。 考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 【例1】已知点在二次函数的图象上，则的值是（） 【解析】因为点在二次函数的图象上，所以将点代入二次函数中，可以得出，则可得， 【答案】 【例2】若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为（　　） 【解析】设二次函数的解析式为，因为当或时，，由抛物线的对称性可知，，所以，把代入得，，所以二次函数的解析式为，当时，。 【答案】 【针对训练】 过,,三点的抛物线的顶点坐标是（　） 2、无论为何实数，二次函数的图象总是过定点（ ） 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，则与的函数关系式为（　　） 【解析】设这个二次函数的关系式为，将代入得，解得：，故这个二次函数的关系式是， 【答案】 【针对训练】 过，，三点的抛物线的顶点坐标是_____。 考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数的关系） 【例1】已知二次函数有最小值1，则、的大小关系为（ ） 不能确定 【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值 【解析】因为二次函数有最小值1，所以，，，所以。 【答案】 【针对训练】 1、二次函数的最小值是 。 2、二次函数的图象的顶点坐标是（ ） 3、抛物线的顶点坐标是（ ） 【例2】抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【考点】涉及函数平移问题 【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再向下平移3个单位可得到抛物线。【答案】 【针对训练】 1、已知下列函数：（1）；（2）；（3）。其中，图象通过平移可以得到函数的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。 2、将抛物线向上平移一个单位后，得到新的抛物线，