概率论与数理统计8讲.ppt

概率论与数理统计第8讲 本幻灯片还可以从网址或其中的概率论讲义子目录中获得 独立试验序列概型 事件运算的最小项 任给n个事件A1,A2,…,An, 取这n个事件中的每一个,然后将其中的一些取逆, 再将这n个事件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事件, 称为这n个事件的一个最小项. 给定n个事件可产生多个不同的最小项, 各个最小项之间是互不相容的. 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事件, 可以由若干个最小项的并构成.因此要计算这样的事件的概率, 只需要按加法法则将所包含的各个最小项的概率相加即可. 例, 二事件A与B可组成四个最小项为 从图形上看, 这四个最小项代表了四个区域 而三个事件A, B, C可组成8个最小项为 由A,B,C产生的任何逻辑式都可以由这8个最小项中的几个的并产生. 这8个最小项可以和所有的3位二进制数一一对应 一般地 n个事件A1,A2,…,An共可组成2n个最小项, 每个最小项可以和一个n位二进制数对应, 如果此二进制数的第i位为0, 对应在此最小项中的Ai取逆, 而第j位为1对应在此最小项中的Aj不取逆. 例 某工厂每天分3个班生产, 事件Ai表示第i个班超额完成生产任务(i=1,2,3)). 则至少有两个班超额完成任务可以表示为 解 此为多选题, 正确的答案为(b),(c),(d). 这是因为(a)为恰有两个班超额完成的最小项之和, 而(b)为至少两个班的典型表示式, (c)为最小项表示, 而(d)表示至少两个班不超额的逆 独立试验概型 在概率论中, 把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型. 进行n次试验, 若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响, 则称这n次试验是相互独立的. 而多个独立试验可以在多个场景同时进行, 也可以按时间顺序进行. 例 甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率均为0.8. 求恰有0部,1部,2部,3部机床需要工人照管的概率. 解 用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.8. 将ABC的所有最小项列出来为 假设B0,B1,B2,B3为有0,1,2,3台机床需要照料的事件,则根据所列出的最小项可得 总结写成 例 一批产品的废品率为0.1, 每次取一个, 观察后放回去, 下次再取一个, 共重复3次, 求这3次中恰有0,1,2,3次取到废品的概率. 解 用事件A,B,C分别表示第1,2,3次取到废品的事件, 则A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1. 将A,B,C的所有最小项列出来为 假设B0,B1,B2,B3为恰抽到0,1,2,3个废品的事件, 则根据所列出的最小项可得 总结写成 例 在前例中废品率若为p(0p1), 重复地抽取n次, 求有k次取到废品的概率. 解: 假设A1,A2,…,An为第1,2,…,n次取到废品的事件. 则这n个事件可以组成2n个最小项, 每一个最小项对应于一个n位的二进制数.假设Bk为有k次取到废品的概率. 则 上面例子的共同特点是 在每次试验中某事件A或者发生或者不发生, 假设每次试验的结果与其它各次试验结果无关, 即在每次试验中A出现的概率都是p(0p1), 这样的一系列重复试验(比如n次), 称为n重贝努里试验. 因此, n重贝努里试验共有两个关键参数, 一个是每次试验A发生的概率, 一个是试验次数n. 注意A并非n重试验的样本空间的事件, 它只是一次试验中的事件, 而在n重试验中, 它转化为A1,A2,…,An 定理(贝努里定理) 设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1), 则n重贝努里试验中, 事件A恰好发生k次的概率用pn(k)表示, 则 我们知道代数中有二项式定理 例 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6, 现检查了10件, 求至少有两件一级品的概率. 解 设B为事件至少有两件一级品. 此为n=10重贝努里试验, 事件A(抽到一级品)的概率p=0.6 1999年MBA试题 设A1,A2,A3为3个独立事件, 且P(Ak)=p (k=1,2,3, p0). 则3个事件不全发生的概率是_______(A) (1-p)3 (B) 3(1-p)(C) (1-p)3+3p(1-p)(D) 3p(1-p)2+3p(1-p) (E) 3p(1-p)3 解 此题为3重贝努里试验, 设事件B为3个事件不全发生, 则B的逆为3个事件全发生的概率为p3, 因此P(B)=1-p3, 而上面的选项(C)为 (1-p)3+3p(1-p)=1-p3 满足要求, 因此应选(C) 1999年MBA试题 进行一系列独立试验, 每次试验成功的