概率论与数理统计9讲.ppt

概率论与数理统计第9讲 本幻灯片还可以从网址或其中的概率论讲义子目录中获得 第二章 随机变量及其分布 随机变量的概念 再谈试验及样本空间 一次随机试验的所有可能的试验结果e所构成的集合被称作样本空间S, 而每一个可能的试验结果e构成样本点. 样本点的集合A称作事件, 只包含一个样本点的集合{e}被称作基本事件. 请注意, 这里的试验结果实际上是一次试验的全过程的记录, 因此和我们原来的印象中的试验结果并非一样, 并非试验结束时候的那个结果. 例如, 假设一场足球赛是一个试验 那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记录, 可以认为记录着整场球赛的录象带是一个试验结果, 而非比赛结束时候的比分是试验结果. 因此, 象{比赛的头五分钟有球队进球}, {上半场甲队领先}, {第三十分钟到三十四分钟期间有一次角球}, {前十五分钟有人被罚下场}都是事件, 它们都是由一系列可能的试验结果构成. 因此, 样本空间是一个非常抽象的集合 从理论上讲它可以是任何集合. 但这对于研究带来了许多不方便. 而数学上则更喜欢研究实数集合. 一方面, 样本空间本身也可能就是实数集合或者其子集. 另一方面, 可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射, 即每给定一个实验结果或者样本点e, 存在着唯一的一个实数X(e)与之对应. 这样就建立了一个自变量为e而函数值则为实数的一个特殊的函数. 我们称之为随机变量. 这可以用下图来示意 此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数a,b,c的一种映射. 注意?1和?2映射到同一个实数b, 这是一种常见的情况. 从样本空间到实数的映射方法有许多种, 每一种映射方法, 被称为一个随机变量. 一般用希腊字母x,h, z或大写拉丁字母X,Y,Z等表示. 通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射到实数集合. 而也有一些试验的结果干脆就是数字, 即样本空间本来就是实数. 当我们看到一个随机变量X时, 可以想到一种在实数轴上进行的随机试验, 每次试验的结果的样本空间就是实数集合, 每一次试验都将产生一个具体的实数, 但具体产生哪个实数不可预知. 一些随机变量的例 (1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用X表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值. (2) 某段时间内候车室的旅客数目记为X, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自然数, M为候车室的最大容量. (3) 单位面积上某农作物的产量X是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即X?[0,T], T是一个常数. 给定一随机变量x, 它有可能取某些值, 而没有可能取另一些值. 因此可按取值情况将随机变量分为两类: (1) 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值. (2) 非离散型随机变量可能取任何实数. 而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量. 随机变量的分布 离散型随机变量的分布 定义 如果随机变量X只取有限个或可列个可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值, 则称X为离散性随机变量. 为直观起见, 将X可能取的值及相应概率列成概率分布表如下 其中{X=x1}, {X=x2}, …, {X=xk}, …构成一完备事件组. 因此概率函数具有如下性质: 一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表. 上面两个性质中的性质(2)经常在解题中构成解方程的一个条件. 例 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取一个进行检验, 用随机变量x来描述废品出现的情况. 写出x的分布. 解 用X表示废品的个数, 则它只能取0或1两个值. X=0表示产品为合格, X=1表示产品为废品, 则概率分布表如下 两点分布: 只有两个可能取值的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为 P(x=xk)=pk (k=1,2) 概率分布表为: 0-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布. 其概率函数为 P(x =k)=pk(1-p)1-k (k=0,1) 概率分布表为: 例 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量X 描述检验结果并画出其概率函数图. 解 令X=k与产品为k等品(k=1,2,3)相对应, X=0与产品为废品相对应. X是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意, P(X=0)=0.1 P(X=1)=0.6 P(X=2)=0.1 P(X=3)=0.2 则可列出概率分布表并画出概率分布图. X 的概率分布表为 例 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况 解 令X表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数