概率论与数理统计(3章).ppt

第三章  随机变量的数字特征 第一节 数学期望 甲班考试成绩： 90分 10人 80分 20人 70分 10人 乙班考试成绩： 90分 10人 80分 10人 70分 20人 甲班平均成绩为 80分（只看分数） 80分（加上人数来计算) 乙班平均成绩为 80分（只看分数） 77.5分（加上人数来计算) 一 数学期望的概念 设离散型随机变量X的概率分布为 若级数 绝对收敛，则称该级数为随机变量X的数学期望，简称期望，又称均值，记作 E（X） 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分 绝对收敛，则称该积分的值为随机变量X的数学期望，记作E(X). 二 数学期望的性质 1.E（c）＝c ， c为常数. 2.E（X＋c）＝E（X）＋c，X为随机变量. 3. E（cX）＝cE（X）. 4．E（cX＋b）=cE（X）＋b. 5.E(X+Y)=E(X)+E(Y),X和Y为两个随机变量 (此性质可以推广到有限个随机变量). 6．若X与Y为相互独立的随机变量，则有 E（X·Y）＝E（X）·E（Y） 三 随机变量函数的数学期望 若X是离散型随机变量， ， 则随机变量函数f(X)的数学期望为 若X是连续型随机变量，概率密度为p(x),则随机变量函数f(X)的数学期望为 第二节 方差 一 方差的概念 若随机变量X的数学期望E(X)存在，则称X－E（X）为随机变量X的离差. 显然 E[X－E（X）]＝0 设随机变量X的数学期望E（X）存在，且 也存在，则称 为随机变量X的方差，记作D（X），VarX， ,即 D(X)＝ . D（X） ，则称 为随机变量X的标准差（或方差根，均方差），还可记作 . 二 方差的性质 1．D（c）＝0，c为常数. 2．D（X＋c）＝D（X），X为随机变量. 3.D（cX+b）＝c2D（X）,cb为常数. 4.若随机变量X和Y相互独立，则有D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）成立 5．若X和Y是任意两个随机变量，则有D（X＋Y)＝D（X）＋ D（Y）＋2E[(X－E（X）)（Y－E（Y））] 6．D（X）＝ 不等式 成立，即 第三节 条件期望 二元离散型随机变量（X，Y）的条件数学期望，简称条件期望.记作E(X| )或 E（Y| ）. 设二元连续型随机变量（X，Y）的条件数学期望，简称条件期望 .记作E（X|y）或 E（Y|x）. 条件期望的性质： 1.若随机变量X有 ，则下列不等式成立，即 . 2.E[E（X|Y）]=E(X). 第四节 协方差及相关系数 一 协方差 对于随机变量X与Y，若 E[(X-E(X))(Y-E(Y)]存在，则称该数值为X与Y的协方差,，记作cov（X，Y）. cov(X,Y) =E[(X-E(X))(Y-E(Y))] =E(XY)-E(X)E(Y). 协方差的性质： 1．cov(X,Y)=cov(Y,X),X和Y为随机变量. 2.cov(aX,bY)=ab·cov(X,Y),a和b常数. 3.cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y). 4.若随机变量X与Y独立，且cov（X,Y）存在 则cov（X，Y）=0. 二 相关系数 对于随机变量X与Y，若D（X）0,D(X)0, 则称 为X与Y的相关系数，记作 相关系数的性质： 1.相关系数为无量纲的量（无单位）. 2. . 3当 时，则称X与Y不相关.若随机变量X与Y独立，则 =0;反之不成立. 4.若 ，则称X与Y相关. 当 时 ,则称X与Y完全线性相关 . 清华大学现代远程教育 * 专升本课程 上一页 上一页 清华大学现代远程教育 * 专升本课程 X ... ... P ... ...