概率论与数理统计教（学）案4.doc

. PAGE . . . 常州机电职业技术学院普通类课程教案 授课章节 随机变量的数字特征 授课形式 授课时间 第 周 周 （ 月 日） 第 至 节 教学目标 知识目标： 能力目标： 素质目标： 教学重点 教学难点 补充内容 教学场地 及教具使用 教　学　过 程 方法手段 时间分配 导 入 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，我们把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。 新 课 4.1 随机变量的期望　　4.1.1 离散型随机变量的期望　　引例 10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。 　　 定义　若X的分布律为 P（X=xi）=pi，i=1，2… 　　 　　 当级数绝对收敛时（即收敛） 　　 就说是离散型随机变量X的期望。记作EX，即 　　　　说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，xn　　则　　　（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，xn…　　则　　　这时才要求无穷级数绝对收敛。　　很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。　　1.两点分布　　随机变量X的分布律为 分布 EX X～（0,1）X～B（n,p）X～P（λ） pnp 4.1.3　下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。 　　 定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为 　　 P{X=xk}=pk，k=1，2，…。 　　 令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为 　　 　　 特别情形 　　 　　 　　 4.1.4 连续型随机变量的期望　　对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将和式中的xi改变x,pi改变为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数）以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。 　　 定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义 积分绝对 收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值） ，记为EX，即 　　1.均匀分布 　　 设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，其概率密度为 　　 　　 则 　　　　　　 　　 在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的期望是该区间中点。 　　2.指数分布　　设随机变量X服从参数为λ0的指数分布，其概率密度为　　　　解：在微积分中有　　　　　　 　　 即指数分布的数学期望为参数λ的倒数。 　　3.正态分布　　设其概率密度为　　　　则X的期望　　E（X）=μ。（不证）　　上面三种情况列表如下（可以作为公式使用） 分布 EX X～U（a,b）　　X～E（λ）　　X～N（μ，σ2） μ 下面介绍连续型随机变量函数的数学期望。 　　 定理4-2 设X为连续型随机变量，其概率密度为fX（x）， 又随机变量Y=g（X），则 当收敛时，有 　　4.1.5二维随机变量函数的期望 　　 定理4-3 （1）若（X，Y）为离散型随机变量，若其分布 律为pij＝P{X=xi,Y=yi}， 边缘分布律为 　　 　　 则 　　　　 　　 其（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x,y）,fx（x）,fY（y）分别为 （X，Y）的概率密度与边缘概率密度，则 　　　　　　证明略。 　　 定理4-4 设g（X，Y）为连续函数，对于二维随机变量 （X，Y）的函数g（X，Y）， 　　 若（X，Y）为离散型随机变量，级数 收敛，则 　　 　　 若（X，Y）为连续型随机变量，且积分 收敛，则 　　4.1.6　期望的性质　　期望有许多重要性质，利用这些性质可以进行期望的运算。下面列举的这些性质对离散型随机变量和连续型随机变量而言，都可以利用随机变量函数的期望与二维随机变量函数的期望公式加以证明。 　　 性质4-1 常数的期望等于这个常数，即 　　 E（C）=C，其中C为常数。 　　证明 常数C作为随机变量，它只可能取一个值C，即P{X=C}=1，所以　　E（C）=C·1=C 　　 性质4-2 常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机 变量X的期望的乘积，即 　　 E（CX）=C·E（X）。 　　证明 设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），则有　　 　　 当X为离散型随机变量时，请读者自证。 　　 ∴有E（CX+b）=C